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Hallo,

ich habe diese Abbildung gegeben: f: [0,1] → IR
                                                                x → x - x2

Ich habe festgestellt, dass sie weder injektiv, noch surjektiv ist.

Nun versuche ich möglichst große Intervalle X, Y mit X ⊆ [0, 1], Y ⊆ IR zu finden, auf denen sie bijektiv ist.
Damit die Abbildung Injektivität vorzeigen kann, dachte ich mir, dass X einen Intervall von [0.5,1] haben muss.
Ich weiß nun nicht, wie ich die Surjektivität zeigen kann.



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Vom Duplikat:

Titel: möglichst große Intervalle X, Y mit X ⊆ [0, 1], Y ⊆ R, so dass die Abbildung f: X-->Y x--> x-x2 bijektiv ist

Stichworte: bijektiv,abbildung

Aufgabe: Ich soll möglichst große Intervalle X, Y mit X ⊆ [0, 1], Y ⊆ R, so dass die Abbildung f: X-->Y

x--> x-x^2       bijektiv ist bestimmen.



~plot~ x-x^2 ~plot~

https://www.matheretter.de/rechner/plotlux?draw=x-x%5E2


Problem/Ansatz: Ich habe als erstes den Hochpunkt (0,5/0,25)  ermittelt und das X Intervall bestimmt.

Das X Intervall wäre dann [0 , 0,5].

Ich bin mir jedoch bei dem Y Intervall nicht sicher. Geht das Intervall von (-∞ , 0,25] oder von [0  ,  0,25] ?

Kann/darf die Zielmenge überhaupt größer sein als der Definitionsbereich sein? Falls nicht wäre ja [0   ,  0,25] richtig.

Ich würde mich über antworten freuen.

Genau dieselbe Frage habe ich gestern bereits beantwortet:

https://www.mathelounge.de/776206/wie-finde-ich-intervalle-fur-bijektivitat

@Student: Bitte beschäftige dich mit den vorhandenen Antworten. @Tschaka: Die haben unterschiedliche Zahlen. Oder? Wenn ja, gibt es ein Antwortdurcheinander, wenn wir alles verschmelzen.

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Aloha :)

Vielleicht hilft die folgende Umformung:$$f(x)=x-x^2=\left(x-x^2-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=\underline{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}$$Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(\frac{1}{2}|\frac{1}{4})\).

~plot~ x-x^2 ; x=0,5 ; [[-0,1|1,1|-0,1|0,3]] ~plot~

Es gibt daher zwei Intervalle \([0|0,5]\) und \([0,5|1]\), in denen die Funktion streng monoton ist. Außerdem wird in diesen Intervallen jeder Funktionswert höchstens einmal angenommen. In diesen beiden Intervallen ist die Funktion bijektiv.

Damit hast du nun 2 bijektive Funktionen im Intervall \([0|1]\):

$$g:\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\to\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\;;\;g(x)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$$$h:\left[\left.\frac{1}{2}\,\right|\,1\right]\to\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\;;\;h(x)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$

Ich zeige die Injektivität und Surjektiv für \(g\), dann solltest du es für \(h\) analog machen können.

1) \(g\) ist injektiv

Wir nehmen an, es gibt zwei Werte \(a,b\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild aus der Zielmenge \(\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\) haben:

$$f(a)=f(b)\implies-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\implies\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2$$$$\implies\left(a-\frac{1}{2}\right)=\pm\left(b-\frac{1}{2}\right)=\pm b\mp\frac{1}{2}\implies a=\frac{1}{2}\pm b\mp\frac{1}{2}=\left\{\begin{array}{c}b\\1-b\end{array}\right.$$Da nach Voraussetzung \(0\le a,b\le\frac{1}{2}\) scheidet die Lösung \((1-b)\) aus und es muss \(a=b\) gelten. Damit gibt es keine 2 verschiedenen Argumente, die auf denselben Wert abbilden. Die Funktion ist injektiv.

2) \(g\) ist surjektiv

Wir wählen einen Wert \(y\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\) aus der Zielmenge beliebig aber fest und schauen, ob es dafür ein \(x\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\) aus der Definitionsmenge gibt, das auf dieses \(y\) abbildet.

$$\left.y=f(x)\quad\right|\quad\text{einsetzen}$$$$\left.y=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\quad\right|\quad-\frac{1}{4}$$$$\left.y-\frac{1}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\quad\right|\quad\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{4}-y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{\frac{1}{4}-y}=x-\frac{1}{2}\quad\right|\quad+\frac{1}{2}$$$$\left.x=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-y}\quad\right.$$Der Wert mit dem negativen Vorzeichen vor der Wurzel liegt im Definitionsbereich von \(g\), der Wert mit der postiven Wurzel liegt außerhalb. Damit haben wir ein \(x\) gefunden, das auf das frei gewählte \(y\) abbildet. Die Funktion ist surjektiv.

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Hallo, vielen Dank für die umfagreiche Beantwortung der Frage! :)

Ich habe nur noch eine kleine Verständnisfrage zu der Umformung, die du ganz am Anfang angewandt hast. Wieso hast du \( \frac{1}{4} \) hinzuaddiert und direkt wieder subtrahiert? Wieso ausgerechnet die \( \frac{1}{4} \) und nicht eine andere Zahl?

Dankeschön im Voraus.

Ich habe den Term$$x^2-x$$gesehen und mich an die sog. "quadratiche Ergänzung" erinnert. Die Zahl vor dem \(x\) muss halbiert und dann quadriert werden, das heißt hier: \((-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\).

Um den Wert des Terms nicht zu verändern, habe ich eine sog. "nahrhafte Null" addiert:$$x^2-x\,+\underbrace{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}_{=0}$$Dadurch habe ich vorne ein ausgerechnetes Binom erhalten:$$\underbrace{\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)}_{=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{4}$$

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