Berechnen Sie eine Basis von \mathrm{L}_{0} mit dem in der Vorlesung besprochenen Verfahren.

Question

Aufgabe:

Orthogonal Projektion von x auf eine Basis der Lösungsmenge

Gegeben sei das homogene lineare Gleichungssystem

\( \begin{aligned} 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4} &=0 \\ -4 x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4} &=0 \\ -18 x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3} &=0 \end{aligned} \)

Mit \( \mathbb{L}_{0} \) sei die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystem bezeichnet.

1. Berechnen Sie eine Basis von \( \mathbb{L}_{0} \) mit dem in der Vorlesung besprochenen Verfahren.

2. Es sei \( \mathbb{L}_{1} \subset \mathbb{R}^{4} \) die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

\( \begin{aligned} 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4} &=4 \\ -4 x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4} &=2 \\ -18 x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3} &=-2 \end{aligned} \)

Berechnen Sie die Projektion des Vektors \( x=(-3,1,-1,4)^{T} \) auf \( \mathbb{L}_{1}, \) d.h. finden Sie einen Vektor \( z^{*} \in \mathbb{L}_{1}, \) so dass \( \left\|z^{*}-x\right\|^{2} \) minimal ist.

Hinweis: Sie benötigen eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems sowie die in 1. berechnete Basis.

Teil 1 habe ich bereits berechnet.

Die Lösungsmenge für das erste LGS lautet:

\( \left\{x_{3} \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 7 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+x_{4} \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 9 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

Die Lösungsmenge für das zweite LGS lautet:

\( \left(\begin{array}{c}5-3 x_{3}-4 x_{4} \\ -11+7 x_{3}+9 x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \)

Nun bin ich mir unsicher wie und welche Basis ich als z* in die Formel einfügen kann, könnte mir jemand dazu einen Ansatz geben?

Answer 1

Du kannst ja die Lösungsmenge auch so schreiben

$$L_1=\left\{\vec{x}=\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix}\right\}$$

Das erinnert vielleicht so vage an Ebenengleichungen.

Dann sehen die Vektoren z* - x alle so aus

$$\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3\\1\\-1\\4 \end{pmatrix}$$

Und mit diesen setzt du die Skalarprodukte mit beiden "Richtungsvektoren"

gleich 0 und hast dann 2 Gleichungen um t und s

auszurechnen.

Comments

Also, in der Vorlesung hatten wir als z* einen Vektor gegeben, dieser wurde dann mit dem Skalarprodukt multipliziert und dann mit x subtrahiert und bei der daraus entstandenen Gleichung der Tiefpunkt bestimmt. Leider habe ich keine Ahnung wie ich bei diesen Vektoren das Skalarprodukt einsetzen soll, nur bei dem ersten Vektor und diese dann nach t und s auflösen?

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Dann hattet ihr vermutlich nur einen Parameter.

Hier hast du aber s und t, und wenn du von diesem z* die Länge

bestimmst hast du eine Funktion mit zwei Variablen

von der du das Minimum berechnen musst. Bin mir nicht

sicher, das ihr das schon hattet.

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Sollten s und t dann nicht gleich sein, da die Vektoren mit denen diese Multiplizierst sind ebenfalls gleich sind?

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Nein, für jede Kombination von Paaren (s,t) erhältst du

ein Element von L1. Mein Vorschlag war:

$$\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3\\1\\-1\\4 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 8\\-12\\1\\-4 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix}$$

und dann

$$(\begin{pmatrix} 8\\-12\\1\\-4 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}=0$$

und

$$(\begin{pmatrix} 8\\-12\\1\\-4 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5\\-11\\1\\0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} 5\\-11\\0\\1 \end{pmatrix}=0$$

Das gibt zwei lineare Gleichungen zum Berechnen zum s und t.