Bestimme das Monotonieverhalten nach Definition von f(x):= (x+5)/(x+1)

Question

Aufgabe´:

Bestimme das Monotonieverhalten nach Definition.

Problem/Ansatz:

Hey an alle!

Jetzt habe ich hier eine gebrochenrationale Funktion und soll über die Definition beweisen, ob sie monoton Steigend etc. ist.

Üblicherweise hätte ich die Ableitung zur Hilfe genommen, jedoch ist dies denke ich hier nicht erwünscht. Kann mir wer sagen wie ich vorgehen muss?

Danke und beste Grüße!

Zweite Version: Zeige per Definition das Monotonie verhalten von f(x)=\( \frac{x+5}{x+1} \).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige per Definition das Monotonie verhalten von f(x)= \frac{x+5}{x+1} .

Stichworte: beweise,monotonie

Aufgabe:

Zeige per Definition das Monotonie verhalten von f(x)=\( \frac{x+5}{x+1} \).

Problem/Ansatz:

kann mir da wer helfen? Blicke 0 durch.

beste grüße und viel Gesundheit an euch!

Answer 1

über die Definition geht es so:

Seien a,b aus dem Definitionsbereich und a<b

dann ist zu zeigen (etwa für monoton fallend) : f(a) ≥ f(b).

z.B. für   1/ ( x-2)  ist für x > 2 monoton fallend:

Seien  b > a > 2   ==>     b-2  >  a-2   > 0

Da beide Terme positiv sind folgt für die Kehrwert

                                 1/(b-2) < 1((a-2)

==>              f(b) <  f(a)  also auch  f(a) ≥ f(b). q.e.d.

Comments

a,b sind in dem fall Zähler und Nenner?

---

Nein das sind zwei x-Werte. Und z.B. monoton fallend heißt ja,

dass beim größeren x-Wert der kleinere Funktionswert ist.

---

Ah ok, das heißt ich kann wie du, zähler und nenner mit 1 im Nenner schreiben und dann vergleichen?

---

Schreib doch mal deinen Beweis auf, Ich gucke es mir gerne an.

---

Da ist ja das Problem. Ich weiß nicht wie ich beweisen soll. Dozent meinte: "Mach mal" und im Internet werde ich leider nicht schlauer..

---

Dann sag doch mal für welche Funktion du was beweisen sollst.

---

f(x)=\( \frac{x+4}{x+1} \)

---

Schau mal dort, ist fast das gleiche

https://www.mathelounge.de/777098/zeige-per-definition-das-monotonie-verhalten-von-f-x-frac-x-5

Answer 2

f(x) = (x + 5)/(x + 1) = (x + 1 + 4)/(x + 1) = 1 + 4/(x + 1)

Für x > -1 ist der Bruch streng monoton fallend und damit auch die Funktion.

Für x < -1 ist der Bruch streng monoton fallend und damit auch die Funktion.

Comments

Was genau hast du im Zähler gemacht?

Danke für die Antwort übrigens!

---

Ich teile nur den Zähler geschickt auf, sodass zunächst der Nenner im Zähler steht. Siehst du das? Dann kann man den Bruch aufteilen und erhält zunächst eine ganze Zahl. Man hätte auch eine Polynomdivision machen können. Das bleibt dir überlassen,

---

Ahhh verstehe cool!

Wie bist du darauf gekommen, dass a<b gilt? Das würde mein ganzes Problem glaube ich komplett lösen!

---

Erhöht man bei einem Bruch den Nenner, dann verkleinert sich automatisch der Wert des Bruches

h → 0+

1/(x + h) < 1/x

Fall 1: x + h und x sind positiv

1/(x + h) < 1/x
x < x + h
0 < h → wahr

Fall 2: x + h und x sind negativ

1/(x + h) < 1/x
x < x + h
0 < h → wahr

du siehst das dies stimmt, solange man durch das h nicht die Polstelle überschreitet.

---

Verstehe ich nicht aber mach dir kein Stress weiter zu antworten. Ich finde das schon irgendwie alleine raus!

Danke vielmals :)

Answer 3

Ist streng monoton fallend über ] - ∞ , -1 [ und über ] -1 , ∞ [ zeigt:

~plot~ (x+5)/(x+1) ~plot~

Beweis : Schreibe es erst mal um:

f(x) = (x+5) / (x+1) = ( x+1 + 4 ) / (x+1)

     = (x+1)/(x+1) + 4/(x+1) = 1 +  4/(x+1).

Seien a,b aus ] - ∞ , -1 [ und a < b .

==>    a+1 < b+1   und beide Seiten sind negativ.

==>    1 / (a+1) > 1 / (b+1)

==>  4 / (a+1) > 4 / (b+1)

==> 1  +  4 / (a+1) >   1  +    4 / (b+1)

==>        f(a) >   f(b)   . Also f in diesem Bereich

streng monoton fallend.

Im anderen Bereich entsprechend.