Monotonieverhalten der Funktion k(x)=3*x^5-25*x^3+60*x-1

Question

ich bräuchte Hilfe beim Monotonieverhalten der Funktion k(x)=3*x⁵-25*x³+60*x-1;

Ich habe bereits die Funktion abgeleitet (k ' (x)=15*x⁴-75*x²+60)

Jetzt hab ich eine Substitution gemacht --> x₁=2; x₂=-2;

                                                                               x₃=1; x₄=-1;

Anschließend in eine Vorzeichentabelle eingetragen, allerdings kommt jetzt raus, dass irgendwie alles streng Monoton steigend ist, was nicht sein kann... So ist der erste Wert für ]-∞;-2]  streng monoton steigend. Zeichne ich den Graphen in einem Programm, dann ist er streng momoton fallen!

Was mache ich falsch?

Vielen Dank schon mal!

Comments

Überprüfe mal deine Nullstellen der 1. Ableitung k ' (x)=15*x⁴-75*x²+60

Ansatz z = x²

Ich komme da auf ganz andere Werte.

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Kann ich nicht nachvollziehen:

z = x²

 

Mitternschtsformel: z_1,2=75±√75²-4*15*60[√-Ende]/(2*15)

                                     z₁=4;      Da √z =x -->      x₁=2;

                                                                                 x₂=-2

 

                                       z₂=1;      Da √z =x -->      x₃=1;

                                                                                  x₄=-1;

Answer 1

k ' (x) = 15 * x⁴ - 75 * x² +60
wenn du es streng mathematisch lösen willst.
Überführung der Funktion in eine Funktion 2.Grades
Ersetzen x^2 = z
f ( z ) = 15 * z^2  - 75 * z + 60
Nullstelle ( = Extrempunkte )
15 * z^2  - 75 * z + 60 = 0  | : 15
z^2 - 5 * z + 4 = 0  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
z^2 - 5 * z + ( 2.5 )^2 = -4 + 6.25
( z  - 2.5 )^2 = 2.25  | Wurzelziehen
z - 2.5 = ±1.5
z =  ±1.5 + 2.5
z = 4
z = 1
z = x^2
x = √ z
Extrempunkte
x = 2
x = -2
x = 1
x = -1
2.Ableitung bilden
k ´' (x) = 60 * x³ - 150 * x
Extremwerte einsetzen
k ´' (-2) = 60 * (-2)³ - 150 * (-2) = -180 ( Hochpunkt )
k ´' (-1) = 60 * (-1)³ - 150 * (-1) = 90 ( Tiefpunkt )
k ´' (1) = 60 * 1³ - 150 * 1 = -90 ( Hochpunkt )
k ´' (2) = 60 * (2)³ - 150 * (2) = 180 ( Tiefpunkt

Monotonie zwischen
x = -2 ( Hochpunkt ) und x = -1 ( Tiefpunkt ) = fallend
usw

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Hi,

ich verstehe wie du es gerechnet hast und komme zu diesem Ergebnis:

k ''(2)=180, 180 > 0 --> Tiefpunkt

k ''(-2)=-180, -180 < 0 --> Hochpunkt

k ''(-1)=90, 90 > 0 --> Tiefpunkt

k ''(1)=-90, -90 < 0 --> Hochpunkt

Folglich:

]-∞;-2] streng monoton steigend

[-2;-1] streng monoton fallend

[-1;1] streng monoton steigend

[1;2] streng monoton fallend

[2;+∞[ streng monoton steigend

Allerdings versteh ich nicht ganz, wieso die Vorzeichentabell hier nicht funktioniert... Kannst du mir helfen?

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Ich habe bei deiner Rechnung den Weg über das Einsetzen der Extrempunkte
in die 2.Ableitung gewählt um die Hoch- und Tiefpunkte zu ermitteln.
Damit kann die Monotonie ermittelt werden.
Es gibt auch andere Möglichkeiten z.B.
Monotonie > 0
z² - 5 * z + 4 > 0
und ausrechnen.

In deiner Tabelle hast du die Extrempunkte mit der
Steigung 0 angegeben.
Wenn du jetzt ein beliebiges x annimmst z.B. für den
Bereich x  < -2 : x = -3 ergibt sich
k ' ( -3 ) =15*(-3)⁴ - 75*(-3)²+60
k ´( -3 ) = 1215 - 675 + 60
k ´( x ) = 600 ( positiv )
also Monotonie > 0 = steigend
bei dir
]-∞;-2] streng monoton steigend

Müßte doch alles so zu berechnen sein und stimmen.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg