die Potenzmenge P(M) Mächtigkeit

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4.3  (1) Sei M eine Menge mit n Elementen
(n ≥ 0). Zeigen Sie, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge von
M gleich 2n
ist, also
|P(M)| = 2n
.
(2) Sei M eine Menge. Kann die Potenzmenge P(M) abzählbar
unendlich sein? Finden Sie entweder eine Beispielmenge M, für
die dies der Fall ist oder zeigen Sie, dass dies für keine Menge
gilt.
Aufgabe 4.4 (6 Punkte)

Problem/Ansatz:

Guten Morgen ,kann einer mir bitte bei dieser Aufgabe helfen

Lg

Dilara :)

Comments

Sollte es nicht so heißen:

|P(M)| = \( 2^{n} \)

mfG

Moliets

Answer 1

(1) Vollständige Induktion über n.

Jede Teilmenge T von {1, ..., n+1} kann auf genau eine von zwei Arten aus den Teilmengen von {1, ..., n} erzeugt werden.

        T ist Teilmenge von {1, ..., n}. Es gibt 2ⁿ solche Teilmengen.

        Man fügt das Element n+1 zu T hinzu. Es gibt 2ⁿ solche Teilmengen.

(2) Ist M endlich, dann ist P(M) endlich.

Ist M überabzählbar, dann ist P(M) überabzählbar, weil es eine injektive Abbildung von M nach P(M) gibt.

Ist M abzählbar unendlich, dann ist P(M) überabzählbar unendlich.

Answer 2

Vgl.

https://www.mathebibel.de/potenzmenge

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge

Answer 3

Hat jemand die vollständige Lösung wäre so nett