Wie findet man den Vektor in entgegengesetzte Richtung?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 3: Welche Koordinaten hat der Vektor \( \vec{a}^{*}, \) der die Länge 1 hat und die zum Vektor

$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) $$

entgegengesetzte Richtung?

Answer 1

Wenn \(\vec{a}\) in eine Richtung zeigt, zeigt \(-\vec{a}\) in die jeweilige entgegengesetzte Richtung.

Damit die Länge \(=1\) ist, muss \(||\vec{a}||=1\) sein.

Answer 2

- a / |a|
= - [1, -4, 3] / |[1, -4, 3]|
= - 1/26·√26·[1, -4, 3]
= [- 1/26·√26, 2/13·√26, - 3/26·√26]

Answer 3

Aloha :)

Wenn du einen Weg entlang gehst, und gehst dann genau in die entegegen gesetzte Richtung zurück, bist du wieder da, wo du am Anfang warst. Wenn du nun einen Vektor umdrehen möchtest, musst du das Vorzeichen von allen seinen Komponenten umdrehen:$$\begin{pmatrix}1\\-4\\3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\end{pmatrix}$$damit die Summe von beiden Vektoren der Nullvektor ist.

Jetzt müssen wir den Vektor noch auf die Länge \(1\) normieren. Dazu bestimmen wir seine Länge \(\|a\|\) und divdieren danach alle seine Komponenten durch diese Länge:$$\|a\|=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-3)^2}=\sqrt{26}$$Der gesuchte Vektor lautet also:$$\vec a^\ast=\frac{1}{\sqrt{26}}\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\end{pmatrix}$$