Question

Zeigen Sie:

n ∈ N ist eine gerade Zahl genau dann, wenn 7n + 4 gerade ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Aussage stimmt. Leider weiß ich aber nicht, wie ich das beweisen soll.

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: \(\quad n\text{ ist gerade}\quad\Longleftrightarrow\quad(7n+4)\text{ ist gerade}\quad\text{, wobei }n\in\mathbb N\)

1) Hinrichtung \(\Longrightarrow\)

Wir setzen voraus, dass \(n\) gerade ist. Dann gibt es ein \(k\in\mathbb N\), sodass \(n=2k\) ist. Dividieren wir nun \((7n+4)\) durch \(2\), so erhalten wir$$\frac{7n+4}{2}=\frac{7\cdot2k+4}{2}=\frac{7\cdot2k}{2}+\frac{4}{2}=7k+2\in\mathbb Z$$eine ganze Zahl. Daher ist \(7n+4\) durch 2 teilbar.

2) Rückrichtung \(\Longleftarrow\)

Wir setzen voraus, dass \((7n+4)\) gerade ist. Dann gibt es eine Zahl \(k\in\mathbb N\), sodass \(7n+4=2k\). Daher ergibt die Division von \(n\) durch \(2\)$$\frac{n}{2}=\frac{7n-6n}{2}=\frac{\overbrace{7n+4}^{=2k}-6n-4}{2}=\frac{2k-6n-4}{2}=k-3n-2\in\mathbb Z$$eine ganze Zahl, sodass auch \(n\) gerade sein muss.

Comments

Dividieren wir nun \((7n+4)\) durch \(2\),

Das (dividieren) macht man aber in der Zahlentheorie nicht.

Man zeigt, dass 2*(irgendeine ganze Zahl)=7n+4 gilt.

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Was "man" in der Zahlentheorie macht, weiß ich nicht. Wer gibt so etwas vor? Ich habe das so gemacht ;)

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Das wundert mich jetzt. Du hast selbst

Wir setzen voraus, dass \(n\) gerade ist. Dann gibt es ein \(k\in\mathbb N\), sodass \(n=2k\) ist.

geschrieben und damit die Verwendung einer Division in der Art "dann ist n/2 eine ganze Zahl" vermieden. Das war wohl nur ein Zufallstreffer?

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Danke für die hilfreichen Antworten !!

Answer 2

Leider weiß ich aber nicht, wie ich das beweisen soll.

In beiden Richtungen. Suche dir eine Richtung aus (die dir einfacher erscheint) und fang damit an. Idee?

Vielleicht kennst du folgende Definition der Teilbarkeit:

\(a|b =_{Def}\) Es existiert eine ganze Zahl q mit a·q=b.