Beweis zu transitiver Relation

Question

Aufgabe:

Es sei \( X \) eine Menge und \( R \subseteq X \times X \) transitiv, d.h., es gilt:

$$ \forall x, y, z \in X:(x, y) \in R \wedge(y, z) \in R \Rightarrow(x, z) \in R $$

Zeigen Sie: Falls für drei Elemente \( a, b, c \in X \) gilt:

$$ \{(a, b),(a, c),(b, c)\} \cap \overline{\left(R \cup R^{-}\right)}=\{(a, b)\} $$

dann gilt:

$$ (\{(a, c),(b, c)\} \cap R=\emptyset) \vee\left(\{(a, c),(b, c)\} \cap R^{-}=\emptyset\right) $$

Problem/Ansatz:

Mir fehlt bisher ein Ansatz, mit dem ich arbeiten kann. Ich würde meinen Beweis mit einer Fallunterscheidung für 1. ({(a, c),(b, c)} ∩ R = ∅) und 2. ({(a, c),(b, c)} ∩ R‾‾ = ∅) gestalten. Muss ich von der Bedingung aus umformen oder wie gehe ich daran?

Comments

Wie ist denn R^- definiert ?

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mit R− ist die Inverse von oder Transposition zu R gemeint. :={(x,y)|(x,y)∈R}

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Wenn X={a,b,b} ist, ist X×X={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}

Als transitive Relation hätte ich R={(a,b),(b,c),(a,c)} angegeben.

Dann wäre R⁻ ={(c,a),(c,b),(b,a)}.

Dementsprechend wäre R ∪ R⁻ = {(a,b),(b,c),(a,c),(c,a),(c,b),(b,a)} und das Komplemet {(a,a),(b,b),(c,c)}. Wie soll denn das Komplement geschnitten mit {(a,b),(a,c),(b,c)}= {(a,b)} ergeben?

Und ist es zudem nicht trivial, wenn {(a,c),(b,c)} jeweils mit R und R⁻ (dem umgedrehten R!) geschnitten wird, eine der Lösungsmengen die leere Menge sein muss? Und wenn ja, wofür ist dann die Bedingung in der Aufgabe gegeben? Die Aussage wäre dann doch allgemeingültig?