Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eineÄquivalenzrelationaufMhandelt, dass also alle drei nötigen Eigenschaften …

Question

Sei M die Menge aller verknüpften Aussagen, die durch Negation, Konjunktion und Dis-junktion aus den drei Aussagen A,B und C gebildet werden können, d.h. z.B.A oder (B oder C),B,¬A oder A,(B oder ¬C) und Csind Elemente von M. Auf M wird nun eine Relation definiert, zu der alle Paare vonverknüpften Aussagen gehören, die stets zueinander äquivalent sind. Sie werde mit dem Symbol ⇠bezeichnet. Es gilt dann z.B.X⇠Y fü rX=¬(A und B) und Y=¬A_¬B(DeMorgan’sches Gesetz).

Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eineÄquivalenzrelationaufMhandelt, dass also alle drei nötigen Eigenschaften gelten (indem Sie sich z.B. auf bekannte Tautologien beziehen). Ist sie gleichzeitig eineOrdnungs- oder Präferenzrelation?

Problem/Ansatz:Wir arbeiten gerade zu 4. an der Aufgabe haben aber keine wirklcihe Idee bei der wir uns sicher wären.

Answer 1

Schaut mal dort:

https://www.mathelounge.de/776476/zeige-dass-es-sich-um-ein-aquivalenzrelation-auf-m-handelt

Answer 2

Seien X, Y, Z ∈ M. Zu zeigen ist

(1)

1. Es ist X ⇠ X.
2. Wenn X ⇠ Y ist, dann ist Y ⇠ X.
3. Wenn X ⇠ Y und Y ⇠ Z sind, dann ist X⇠Z.

Sei I: {A, B, C} → {0, 1} eine Belegung der Variablen A, B, und C.

Sei w: M → {0, 1} die Abbildung, die jedem m ∈ M den Wahrheitswert von m unter der Belegung I zuordnet.

Dann gilt

(2)

1. Es ist w(X) = w(X).
2. Wenn w(X) = w(Y) ist, dann ist w(Y) = w(X).
3. Wenn w(X) = w(Y) ist und w(Y) = w(Z), dann ist w(X) = w(Z).

weil = eine Äquivalenzrelation ist.

Weil in (2) die Belegung beliebig gewählt wurde, gilt (2) für alle passenden Belegungen. Also gilt auch

(3)

1. Es ist X äquivalent zu X.
2. Wenn X äquivalent zu Y ist, dann ist Y äquivalent zu X.
3. Wenn X äquivalent zu Y ist und Y äquivalent zu Z, dann ist X äquivalent zu Z.

Aus (3) folgt (1).