Gleichheit von Vektoren beweisen.

Question

1)c) Zeige, dass gilt:

\( \langle(v-u) \times w, v+w\rangle=\langle u \times v, w\rangle \)

wobei w v u Vektoren im R^3 sind.

Kann mir einer sagen, wie ich hier anfangen kann? Gibt es rechenregeln, die mir erlauben einen Ausdruck zu vereinfachen?

Meine Idee:

Sich 3 Vektoren ausdenken, diese Einsetzen und es so überprüfen. Aber ich glaube so ist das nicht erwünscht.

Comments

Was bedeutet ein Komma zwischen zwei Vektoren?

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Das heißt das Skalarprodukt. Also wenn das in so Eckigen Klammern mit einem Komma steht, ist es das Skalarprodukt.

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Ich sehe in deiner Gleichung keine eckigen Klammern.

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Die Klammern, die vor und nach dem = stehen meine ich.

Answer 1

Hallo,

<(v-u)xw, v+w> = <vxw -uxw , v+w>

= <vxw -uxw , v> + <vxw -uxw , w>

= <vxw , v> - < uxw , v> + <vxw, w> -

< uxw , w>

= 0 - <uxw,v> + 0 - 0

= - <uxw,v>

In deiner Lösung fehlt m. E. ein Minus.

Comments

\( =\langle u \times v, w\rangle \)

Hast du dich am ende verschreiben? ich habe ja uxv,w

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Stimmt, hatte ich übersehen. Dann ist die Lösung richtig.

Es gilt

- < u x w , v > = < w x u , v > =

< u x v , w >

Wenn man im Kreuzprodukt die Vektoren vertauscht, entsteht ein Minus. < w x u , v > ist das Spatprodukt, hier kann man die Vektoren zyklisch vertauschen, also alle Vektoren "eins nach links" verschieben.