Kern(f) ⊆ G ist eine Untergruppe von G.
Dass es eine Teilmenge von G ist, ist ja klar; denn
der Kern besteht ja aus allen Elementen von G,
die durch f auf das neutrale El. von H abgebildet werden.
Bleibt zu zeigen: Kern(f) ist nicht leer und
ist abgeschlossen gegenüber °.
1. Es ist jedenfalls das neutrale Element eG im Kern von f:
denn f(eG) = eH .
2. Seien x und y in Kern(f), dann gilt f(x)=eH und f(y)=eH,
und f(x°y) = f(x) * f(y) [ wegen Hom !
= eH * eH = eH .
zu b) Sei f injektiv. Und x∈Kern(f) , also f(x)=eH
==> x=eG , da ja auch f(eG)=eH.
Umgekehrt: Sei Kern(f) = {eG} und x, y aus G mit
f(x) = f(y) ==> f(x) * (f(y))^(-1) = eH
==> f(x) * f( y^(-1)) = eH
==> f( x°y^(-1) ) = eH
==> x°y^(-1) ∈ Kern(f) [dann nach Vor.]
==> x°y^(-1) = eG ==> x = y . q.e.d.
