Text erkannt:
Definition 1.2.5. Ein reguläres n-Eck ist eine Teilmenge der euklidischen Ebene, die von \( n \) Strecken gleicher Länge eingeschlossen wird. Diese Strecken sind so zyklisch angeordnet, dass sich zwei aufeinanderfolgende immer im selben Winkel treffen.
Die regulären n-Ecke haben sowohl orientierungserhaltende als auch orientierungsumkehrende Symmetrien. Jedes n-Eck hat \( n \) Rotationssymmetrien und \( n \) Spiegelsymmetrien. Letztere kehren die Orientierung um.
Die Symmetriegruppen regulärer n-Ecke haben eigene Namen.
Definition 1.2.6. Die Symmetriegruppe eines regulären \( n \) -Ecks heißt n-te Diedergruppe und wird mit \( D_{n} \) bezeichnet. Die Gruppe der orientierungserhaltenden Symmetrien eines regulären \( n \) -Ecks heißt \( n \) -te zyklische Gruppe und wird mit \( C_{n} \) bezeichnet.
Die Gruppen \( C_{n} \) können wir auch als Symmetriegruppen orientierter n-Ecke betrachten. Orientiert meint hier, dass wir die n-Ecke so dekorieren, dass man erkennen kann in welche Richtung seine Seiten zeigen. Eine Möglichkeit das zu tun ist in der folgenden Abbildung gezeigt.
Hat ein Objekt eine endliche Symmetriegruppe, so können wir die Verknüpfungen der Symmetrien in einer Tabelle darstellen.
Definition 1.2.7. Die Cayleytafel oder auch Multiplikationstabelle einer endlichen Gruppe mit \( n \) Elementen ist eine \( n \times n \) Tabelle folgender Form. Zunächst numerieren wir die Gruppenelemente \( g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n} . \) Legen also eine Reihenfolge fest. In Zelle \( (i, j) \) der Tabelle schreiben wir Produkt \( g_{i} \circ g_{j} \) des i-ten mit dem j-ten Gruppenelement.
Das habe ich bei uns im Skript dazu gefunden, aber ich verstehe leider nicht wie man eine Cayleytafel mit diesen Gruppen aufstellt
