Zeige, dass (b_n) konvergent ist mit max{lim a_n, lim b_n}

Question

Aufgabe:

(i) Betrachte zwei konvergente Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) und \( \left(\bar{a}_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \). Zeige, dass
\( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(\max \left\{a_{n}, \bar{a}_{n}\right\}\right)_{n \in \mathrm{N}} \)
konvergent ist mit Grenzwert \( \max \left\{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n}\right\} \).

…

Problem/Ansatz:

Wie ich es verstanden habe, ist \( \left(\bar{a}_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) eine Teilfolge von der Anderen, was bedeutet, dass sie zum selben Grenzwert konvergieren. Ich glaube, dass das Maximum gleich des Grenzwertes ist, was dannzeigt, dass alle drei Folgen zum selben Grenzwert konvergieren. Leider hab ich aber überhaupt keine Ahnung wie ich hier ansetzen soll. Mich verwirrt auch das Maximum als Bedingung für (b_n) total.

Answer 1

Hallo

dass die zweite Folge quer heisst irritiert dich vielleicht, sie muss mit an nichts gemeinsam haben, ausser dass sie auch konvergiert.

bn besteht dann aus jeweils dem größeren von den beiden  a_n und aquern .

du musst schon mit den Definitionen von Konvergenz , also N(ε) arbeiten, schreib die Sei für die beiden hin, dann hast du ein N1 und N2 daraus ein N für bn

Gruß lul