Nach Satz 1 ist die Folge \( \left(a_{n}\right) \) beschränkt, es gibt also eine reelle Konstante \( K>0 \), so dass \( \left|a_{n}\right| \leqslant K \) für alle \( n \). Wir können außerdem (nach eventuell Vergrößerung \( \operatorname{von} K \) ) annehmen, dass \( |b| \leqslant K \). Sei wieder \( \varepsilon>0 \) vorgegeben. Da auch \( \frac{\varepsilon}{2 K}>0 \), gibt es Zahlen \( M_{1}, M_{2} \in \mathbb{N} \) mit
\( \left|a_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2 K} \) für \( n \geqslant M_{1} \) und \( \left|b_{n}-b\right|<\frac{\varepsilon}{2 K} \) für \( n \geqslant M_{2} \).
Für alle \( n \geqslant M:=\max \left(M_{1}, M_{2}\right) \) gilt dann
\( \begin{aligned} \left|a_{n} b_{n}-a b\right| &=\left|a_{n} b_{n}-a_{n} b+a_{n} b-a b\right| \\ &=\left|a_{n}\left(b_{n}-b\right)+\left(a_{n}-a\right) b\right| \\ & \leqslant\left|a_{n}\right|\left|b_{n}-b\right|+\left|a_{n}-a\right||b| \\ &<K \cdot \frac{\varepsilon}{2 K}+\frac{\varepsilon}{2 K} \cdot K=\varepsilon \end{aligned} \)
Daraus folgt die Konvergenz der Produktfolge.
Was ich hier nicht verstehe. Man hat bewiesen |a_n b_n - ab| < e. Also konvertiert (a_n * b_n) gegen ab. Mann muss, aber noch |a_n -a|*|b_n-b| < e zeigen oder? Kann ich sagen |a_n -a| < e/2 und |b_n-b| < 2*e also |a_n -a||b_n-b| < e? Bzw. wenn ich falsch denke, dann bitte ich Euch mir die Aufgabe mit Lösung zu erklären.
