Welche Punkte des Graphen haben den geringsten Abstand vom Ursprung?

Question

Aufgabe:

4. Für jedes a ∈ ℝ ist eine funktion f_a gegeben mit f_a (x)= a/x²

c) Wir betrachten noch einmal f_2. Welche Punkte des Graphen haben den geringsten Abstand vom Ursprung? Geben Sie ihre Koordinaten und den Abstand d an.

d) d : a ↦ d(a) sei die Funktion, die jedem Parameter a den kleinsten Abstand des Graphen f_a vom Ursprung zuordnet. Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit insbesondere an der Stelle 0.

e) Suchen Sie einen Alltagsbezug, bei dem die Abstandsminimierung (entweder für eine feste Funktion oder für eine Funktionenschar) eine Rolle spielt, und modellieren Sie diesen in geeigneter Weise.

Problem/Ansatz:

Komme bei den Aufgaben nicht weiter. Bei Aufgabe c habe ich probiert den Satz des Pythagoras zu benutzen jedoch weiß ich nicht wie ich dazu komme es anzuwenden.

Answer 1

f (x ) = 2/x^2
Punkt auf der Kurve
( x | f ( x ) )
rechtwinkliges Dreieck
x = kathete
f ( x ) = kathete
d = Hypotenuse

x^2 + [ f(x) ] ^2 = d^2
x^2 + [ 2/x^2 ] ^2 = d^2
x^2 + 4/x^4  = d^2
1. Ableitung zur Extremwertberechnung
Jetzt kommt ein Trick 17 den man anwendet
um einfacher zu rechnen
d und d^2 haben an derselben Stelle einen
Extremwert. Man kann also den Extremwert
von x^2 + 4/x^4 ersatzweise berechnen
( 2x + 4/x^4  ) ´ = 0
x - 16/x^5 = 0
x = 1.587
f ( 1.587 ) =  0.794

( 1.587 | 0.794 )

Bei Bedarf nachfragen
d^2 = 1.587 ^2 + 0.794 ^2
d = 1.775

Comments

guten tag

danke für die lösung jedoch komme ich nicht auf deine werte denn bei mir kommt bei x der werte -1,25 und bei y der wert 1,28 raus

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Fehlerkorrektur
nicht
von x^2 + 4/x^4 ersatzweise berechnen
( 2x + 4/x^4  ) ´ = 0
sondern
( x^2 + 4/x^4 ) ´ = 0
2x - 16 / x ^5 = 0
x = 1.414
f ( 1.414 ) = 1

( 1.414 | 1 )

d ^2 = 1.414 ^2 + 1^2
d = 1.732