x + x = 0 in Körper mit gerader Anzahl an Elementen (endlich)

Question

Aufgabe: Beweis, das x + x = 0 in einem Körper mit einer geraden Anzahl an Elementen (endliche Anzahl)
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Problem/Ansatz: Mein Gedanke ist, man kann x + x zu x * (1 + 1) umformen. Es gilt also zu beweisen dass 1+1=0 wenn die Anzahl der Elemente gerade sind. Für mich ist jedoch nicht ersichtlich, wie ich die gerade Anzahl einbringe, sodass ich das beweisen kann.
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Comments

Beweis, dass x + x = 0 in einem Körper mit einer geraden Anzahl an Elementen (endliche Anzahl)

Der Satz kein Verb.

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"gleich sein" ist ein Verb, trotzdem danke für deinen Einsatz

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Und das soll dann für jedes x aus dem Körper gelten?

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ja, eben immer dann, wenn er eine gerade Anzahl an Elementen hat

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Hallo

alle Körper müssen Potenzen von p, p prima  sein , da nur Potenzen von 2 gerade sind sind also alle Körper  mit gerader Anzahl Erweiterungen des Körpers aus 0,1, enthalten also immer 1+1=0

Ob ihr diese Körpererweiterungen hattet? zB, von 2 auf vier kommt man indem a und b die Lösungen des in (0,1) irreduziblen Polynoms x^2+x+1 nimmt den gilt auch a+a=0 und b+b=0

(a+b=1; a+1=b, b+1=a)

Gruß lul

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Vermutlich "In einem endlichen Körper mit einer geraden Anzahl von Elementen gibt es ein Element x mit x+x=0".

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Das wäre trivial, 0+0 = 0.

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erstmal danke fuer die Antwort. Wir haben abgesehn vom binaeren und tertiaeren Koerper keine endlichen Koerper betrachtet, anscheinend soll man die Aufgabe auch loesen koennen, ohne zu wissen wie ein endlicher Koerper mit gerader Elementanzahl konkret aussieht. Probiere es schon seit Tagen, ich finde den Zusammenhang einfach nicht.

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Dann "mit x≠0".

Bei diesen unvollständigen Fragen kann man viel spekulieren.

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hallo

nein in jedem Körper mit der Anzahl 2^n gilt für alle Elemente x+x=0

Wie man das zeigen soll, ohne zu wissen, dass sie Körpererweiterungen von Z₂ sind, weiß ich nicht.

lul

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Man muss x+x=0 für jedes x des Körpers zeigen, was ja auch stimmt, es geht nur um den Beweis. Und der soll machbar sein, ohne zu wissen, dass sie Körpererweiterungen von Z2 sind. Kann man vielleicht beweisen, dass sie Körpererweiterungen von Z2 sind?

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Hallo

für 4 hatte ich ja gesagt wie, für alle Potenzen n von 2 nimmt man die irreduziblen Polynoms vom Grad p wenn nprim sonst n=p1*p2*.. die irreduziblen Polynoms vom Grad p1, p2,..

hallo

da es keine Kgeradzahligen Körper gibt die nicht 1,0 als Elemente haben mit 1+1=0 also Erweiterungen von Z2 sind, weiss ich nicht wie. dass es keinen Körper mit z.B 6 Elementen gibt hattet ihr? und dass ein Körper Unterkörper der Ordnung Teiler der Ordnung hat, auch?. dann geht es vielleicht darüber.

lul

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Hier ist eine ähnliche Frage beantwortet:

https://math.stackexchange.com/questions/2599274/prove-that-a-finite-field-with-an-odd-number-of-elements-cannot-have-11-0

Answer 1

Sei M die Menge aller x ∈ K, für die x + x = 0 ist.

Dann muss |K\M| gerade sein, weil

        x₁ ∈ K\M ⇒ ∃ x₂ ∈ K\M : x₁ + x₂ = 0 ∧ x₁ ≠ x₂.

Ist |K| gerade und |K\M| gerade, dann ist auch |M| gerade. Wegen 0+0=0 gibt es also ein x ∈ M mit x ≠ 0. Mit diesem x gilt

        0 = 0 · x^-1 = (x + x) · x^-1 = x·x^-1 + x·x^-1 = 1 + 1.