Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Question

Lösen sie die inhomogene Differentialgleichung y'(x)=−λy(x)+µ unter der Anfangsbedingung y(0)=y0. Hierbei seien  λ und  µ positive reelle Parameter. a) Finden sie zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Ermitteln Sie anschließend eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten.  c) Passen sie schließlich die auftretende Integrationskonstante an die Anfangsbedingung an.

Answer 1

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

Umgestellt:

y'(x) + λ*y(x)  = - μ

Lösung ist y(x) = y_h(x) + y_p(x)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

a) Homogene DGL:

y'(x) + λ*y(x)  = 0  = dy/dx + λ*y(x)

Trennen der Variablen:

dy/y(x) = -λ  dx

Integrieren:

ln y(x) = -λ*x + C

Daraus folgt:

 y_h(x) = C * e^-λx

Partikuläre Lösung:

Variation der Konstanten:

y (x) = C(x) * e^-λx   und  y ' (x) = C'(x) * e^-λx + C(x) * (-λ*e^-λx)

Einsetzen in DGL: C'(x) * e^-λx + C(x) * (-λ*e^-λx) + λ* C(x) * e^-λx = - μ = dC/dx*e^-λx

Trennen der Variablen: dC = - μ* e^λx dx

Integrieren:   C (x) = - μ/λ * e^λx

in y(x) einsetzen: y_p(x) = - μ/λ * e^λx * e^-λx = - μ/λ

Allgemeine Lösung:

y(x) = c * e^-ax - μ/λ

c) c bestimmen mit y(0) = y₀

Einsetzen in Lösung der DGL:

y₀ = c * e^-λ*0 - μ/λ

Also: c = y₀ + μ/λ
 

Spezielle Lösung:

y(x) = (y₀ + μ/λ) * e^-λx - μ/λ