Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von σ5, ρ3, σρ, ρσ, σ-1, ρ-1, (σρ)-1 und σ17

Question

Es seien in S5 die Permutationen

σ:=(1 2 3 4 5                                       ρ:=( 1 2 3 4 5

   2 3 4 5 1)                                               4 3 2 1 5)

gegeben. Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von σ⁵, ρ³, σρ, ρσ, σ-1, ρ^-1, (σρ)^-1 und σ¹⁷

Answer 1

Hallo Helen,

\(\sigma\) beschreibt eine sogenannte Linksrotation. D.h. alle Elemente werden um eine Stelle nach links geschoben und das ganz linke Element wird ganz rechts wieder eingereiht. Wenn man dies mit \(n\) Elementen \(n\)-mal ausführt, hat man zwangsläufig den alten Stand. Folglich ist (wegen \(n=5\)) \(\sigma^5 = \text{Id}\) also die Identische Abbildung$$\sigma^5 = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{pmatrix} =(1)(2)(3)(4)(5)$$Bei \(\rho\) wird die Reihenfolge der ersten vier Elemente invertiert. Macht man das zweimal hintereinder, so liegt wieder die ursprüngliche Reihenfolge vor. Also ist \(\rho^2 = \text{Id}\) und$$\rho^3 = \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{pmatrix} = (1\space 4)(2 \space 3)(5)$$ \(\sigma\rho\) und \(\rho\sigma\) ist die Verknüpfung beider Permutationen. Achte hier auf die Reihenfolge. Die Permutationen werden von rechts nach links ausgeführt. Z.B.: $$\sigma\rho = \sigma\circ\rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} = (1\space 3)(2)(4\space 5)$$also erst \(\rho\) und dann \(\sigma\).

Die inverse Permutation erhält man, indem man in der Zweizeilenform die obere mit der unteren Zeile vertauscht: $$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix}2& 3& 4& 5& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 1& 2& 3& 4\end{pmatrix} = (1\space 5\space 4\space 3\space 2) $$Bei \(\sigma^{17}\) macht man sich wieder zu Nutzen, dass \(\sigma^5 = \text{Id}\) ist. Folglich gilt$$\sigma^{17} = \sigma^{2} = \sigma \circ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 1& 2\end{pmatrix} = (1\space 3\space 5\space 2\space 4)$$Da \(17 \equiv 2 \mod 5\) ist.

Comments

Vielen Dank, das ist ja nicht schwer eigentlich wenn man es verstanden hat :)

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Ich habe noch was vergessen! Es ist nach der Zyklenschreinbweise gefragt. Und ich habe Dir die Zweizeilenform geliefert. Ich korrgiere das gleich.

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oh dankeschön bin gespannt wie die schreibform aussieht.

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erledigt - ich habe die Zyklenschreibweise hinzu gefügt. Siehe auch Permutation.

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ich habe noch eine Frage und p^-1 und (sigmal*p)^-1 ist das gleich zu sigma^-1 zb oder wie

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un p verknüpft sigma ist dasselbe wie sigma verknüpft mit p

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und p verknüpft sigma ist dasselbe wie sigma verknüpft mit p

Nein! - steht auch explizit in dem Wiki-Artikel, den ich Dir verlinkt habe. Kompositionen von Permutationen sind i.A. nicht kommutativ$$\sigma \circ \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} = (1\space 3)(2)(4\space 5) \\ \rho \circ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 4& 3& 2& 1\end{pmatrix} = (1\space 5)(2\space 4)(3)$$mache Die das selber klar und verfolge den Weg, den z.B. die 1 nimmt. Im Fall von \(\sigma \circ\rho\) wird \(\rho\) zuerst angewendet:$$\sigma \circ\rho(1) = \begin{pmatrix}1& .& .& .& .\\ .& .& .& 1& .\\ .& .& 1& .& .\end{pmatrix}$$Durch das Invertieren der Reihenfolge (das ist \(\rho\)) wandert die 1 auf die Position 4. Anschließend wird sie von der Linksrotation (das ist das \(\sigma\)) von Position 4 auf Position 3 verschoben. Anders bei \(\rho\circ\sigma\)$$\rho\circ\sigma(1) = \begin{pmatrix}1& .& .& .& .\\ .& .& .& .& 1\\ .& .& .& .& 1\end{pmatrix}$$Hier wird die 1 durch die Linksrotation (\(\sigma\)) auf Position 5 geschoben. Und \(\rho\) ändert die Position 5 nicht mehr. Also bleibt die 1 dort stehen.

p^-1 und (sigmal*p)^-1 ist das gleich zu sigma^-1 zb oder wie

Diese Frage ist etwas verstümmelt. Mache Dir das selber klar - auch wenn es nicht schwer ist, so muss man das ein wenig üben. Die notwendigen Informationen stehen alle in meiner Antwort und wenn das nicht reichen sollte, in dem Wiki-Artikel Permutation.

Oder frage hier einfach nochmal gezielt nach.

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Dann hast du das aber beides vertauscht.

o○p wäre dann das was bei p○o steht und p○o wäre das wss du bei o○p steht, oder nicht?

Weil man ja das rechte als erstes nutzt und laut deiner Rechnung hast du dann ja bei o○p o als erstes genommen obwohl du p nehmen solltest und bei p○o hast du dann ja p genommen, obwohl du o nehmen solltest

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Hallo Sterni,

Willkommen in der Mathelounge! :-)

... laut deiner Rechnung hast du dann ja bei o○p o als erstes genommen ...

das sehe ich nicht so. Nochmal ausführlich:$$\begin{aligned} \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{pmatrix} \\ \sigma = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\end{pmatrix} \\ \sigma \circ \rho = \begin{pmatrix}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\\ 3& 2& 1& 5& 4\end{pmatrix} \end{aligned}$$bei \(\sigma \circ \rho \) kommt \(\rho\) zuerst. Und genauso steht es auch oben in meiner Antwort und in meinem Kommentar.

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Ich verstehe das nicht...

Ich habe das so gelernt:

o○p:

ich gucke erst bei p. Da wird 1 auf 4 abgebildet, dann gucke ich bei o wo die 4 abgebildet wird also auf 5 also kommt unter der 1 eine 5 usw ..

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... dann gucke ich bei o wo die 4 abgebildet wird also auf 5

bei \(\sigma\) wird das Element von Position 4 auf Position 3 verschoben, nicht auf Position 5. \(\sigma\) ist eine Linksrotation, jedes Element nimmt bei \(\sigma\) eine Position weiter links ein und das ganz linke wandert ganz nach rechts.

Schau Dir auch das Beispiel bei Wiki an.

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Noch ein Tipp:

die Zahlen in der Zweizeilenform sind nur Platzhalter. Man könnte sie auch durch beliebige Zeichen ersetzen. Z.B.: $$\sigma = \begin{pmatrix}\circ& \#& X& 9& €\\ \#& X& 9& €& \circ\end{pmatrix}$$Bei der Zyklenform geht man implizit davon aus, dass die Elemente mit 1, 2, 3, usw. durchnummeriert sind.

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Habe das so gemacht und es war falsch. Hatte selber diese Hausaufgaben auf. o ist keine Linksrotoation meinte mein Lehrer

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Habe das so gemacht und es war falsch. Hatte selber diese Hausaufgaben auf. o ist keine Linksrotoation meinte mein Lehrer

Also ich bin selber unsicher, hatte das aber an Hand von zwei Quellen überprüft. Machen wir es mal anders herum. Man habe eine Sequenz \(a\) von 5 Elementen$$a = \begin{pmatrix}\circ& \#& X & 9& €\end{pmatrix}$$Was ist dann \(\sigma(a)\)??

Kann sein, dass Du recht hast. Heute liest sich das für mich wiede anders **blöd**. Ich muss mir das heute Abend noch mal in Ruhe ansehen.

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Hallo Helen, Hallo Werner-Salomon

was hast du bei p^-1?

ich tausche wieder beide Zeilen in der Zweizeilenform. Doch wie sieht die Zykelschreibweise aus?

Vielen Dank un liebe Grüße