Konvergenz einer Folge mit cauchy

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen  dass die Folge ((∑k=1 über n: 1/k - log (n+1) konvergiert.…

Problem/Ansatz:

Ich hab als Hinweis

∑k=m+1 über n: (1/k+1) < log (n+1)/(m+1) < ∑k=m+1 über n: (1/k)

erhalten und vermute ich soll das Cauchy Kriterium anwende aber komme einfach nicht weiter...

Freue mich über eure Antworten!

Comments

Ist deine Aufgabenstellung im richtigen Wortlaut so?

Zeigen Sie, dass die folgende Reihe

$$ \sum\limits_{k=1}^{n} \biggl(\frac{1}{k} - log(n+1)\biggr)$$

konvergiert.

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Nein die Klammer wäre vor dem Summenzeichen und nach 1/k zu ende und der Logarithmus wäre dann in einer eigenen Klammer:)

Kurz gesagt die harmonische Reihe wird von log (n+1) subtrahiert.

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So vielleicht? \( \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \log(n+1) \)

Wäre doch schön wenn man wenigsten die Aufgabenstellung verstehen würde. Noch ein Tipp: Hier gibt es einen gar nicht so schlechten Editor.

Answer 1

Hallo,

es geht also um

$$a_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\log(n+1)$$

Für das Cauchy-Kriterium ist zu untersuchen für \(n>m\):

$$a_n-a_m= \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k}-\log(n+1)+\log(m+1)$$

Mit dem Hinweis gilt die untere Abschätzung:

$$a_n-a_m \geq \log(n+1)-\log(m+1)-\log(n+1)+\log(m+1)=0$$

Für eine obere Abschätzung formen wir um:

$$\sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k} = \sum_{k=m}^{n-1} \frac{1}{k+1} \leq \log(n)-\log(m)$$

Daher

$$a_n-a_m \leq \log( \frac{n}{n+1}\frac{m+1}{m}) \leq \log(\frac{m+1}{m}) \to \log(1)=0$$

Also ist das Cauchy-Kriterium erfüllt.

Gruß