Aufgabe: Skalarprodukt auf einen C-Vektorraum
Wir definieren die Abbildung ⟨⋅|⋅⟩:ℂn×ℂn→ℂ,⟨x|y⟩:=∑nk=1xkyk (komplex konjugiert, xkyk mit Strich drüber) analog zu dem Skalarprodukt auf einem ℝ-Vektorraum. Zeigen Sie, dass diese Abbildung für alle x,y,z∈ℂn und alle s∈ℂ die folgenden Eigenschaften besitzt:
(a) ⟨x|x⟩=⟨y|x⟩(komplex konj.,y|x bitte mit Strich drüber denken)
(b) ⟨x|x⟩≥0 und ⟨x|x⟩=0⟺=0
(c) ⟨x+y|z⟩=⟨x|z⟩+⟨y|z⟩
(d) ⟨x|sy⟩=s⟨x|y⟩ und ⟨sx|y⟩=s(s mit Strich drüber)⟨x|y⟩
Problem/Ansatz:
Ich bräuchte bitte eine Anleitung. Habe Schwierigkeiten. Vor allem tue ich mir schwer mit dem zeigen ... für alle.. folgenden Eigenschaften ..., also wie ich das beweise.
Z.B bei der b) ? <x|x> =0 → x= 0
Tu ich jetzt willkürlich ein x wählen das ∈R z.B. x=2 , und dann Probieren?
<2|2> = 2*2=4 ≠0 ,
wie zeige ich es jetzt für alle x,y,z ∈Cn . Ich kann ja nicht alle durch gehen. hat das was mit vollständiger Induktion zu tun ?
mir ist schon klar das < x|x> =0 → x=0 sein muss. Das steht bei uns auch irwo im Buch als Definition.
Nachtrag
Oder ist das schon der Beweis <x|x>=0 → x*x=0 → triviale Lösung x=0 ?
und bei <x|x> >= 0 → x*x>= 0 , weil -1*-1= +1 und +1*+1=+1 . Ist das damit schon getan. Genügt das?
Bin bei dem Ganzen noch recht unsicher
