Wie berechnet man diese Vektoren? EDIT: Eigenschaften des Skalarprodukts mit Klammern

Question

Wie zeigt man , dass allgemein für drei Vektoren

→                      →                    →
 a = ( a1      ,     b = ( b1       ,   c = ( c1         a2                     b2                    c2         a3)                   b3 )                  c3 )
gilt :
a)  →   →  →  →       b)  →   →     →      a × b = b × a              a  ×  a = | a |^2

 !

EDIT: Aus Kommentar das Bild von der Frage 

Comments

Wird C  also ( c1 , c2 und c3) bei der Aufagbe a und b nicht genutzt ?  

!!!!!

Answer 1

das kann man nicht lesen. Mit dem  $$ \times $$ Symbol wird auch üblicherweise

das Kreuzprodukt bezeichnet und nicht das Skalarprodukt.

Für das Skalarprodukt gilt:

$$ a*b=b*a,a*a=|a|^2 $$

Das kann man komponentenweise leicht nachrechnen.

Bsp:

$$ a*a=\begin{pmatrix} { a }_{ 1 }\\{ a }_{ 2 }\\{ a }_{ 3 } \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} { a }_{ 1 }\\{ a }_{ 2 }\\{ a }_{ 3 } \end{pmatrix}\\={ a }_{ 1 }^2+{ a }_{ 2 }^2+{ a }_{ 3 }^2=(\sqrt { { a }_{ 1 }^2+{ a }_{ 2 }^2+{ a }_{ 3 }^2 })^2=|a|^2 $$

Comments

Oh sorry , habe hier das Originale Aufgabenstellung  , wie würde man bei a) und b) vorgehen?

!!

a)

↦↦   ↦↦

a • b = b • a

b)

↦↦     ↦

a • a = | a |^2

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Teil b) steht schon oben in der Antwort, zu Teil a):

$$ \vec{ a }*\vec{ b }=\begin{pmatrix} { a }_{ 1 }\\{ a }_{ 2 }\\{ a }_{ 3 } \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} { b }_{ 1 }\\{ b }_{ 2 }\\{ b }_{ 3 } \end{pmatrix}\\={ a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\={ b }_{ 1 }{ a }_{ 1 }+{ b }_{ 2 }{ a }_{ 2 }+{ b }_{ 3 }{ a }_{ 3 }\\=\vec{ b }*\vec{ a } $$

aufgrund des Kommutativgesetz für die Multiplikation reeller Zahlen.

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Das was Sie hier beschrieben ist der Rechenweg für a) und ganz am Anfang also die erste Antwort  der Rechenweg für b) oder?

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Ja genau so ist es

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Wird C  also ( c1 , c2 und c3) bei a und b nicht genutzt ?

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 Den Vektor C braucht man bei den beiden Teilaufgaben nicht ;)