Man beweise, dass für alle α,β ∈ R gilt: α teilt die Norm N(α)| Aus α | β folgt N(α) | N(β)

Question

Wir wissen, dass der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen
R = ℤ[i] = {a+bi | a,b ∈ Z} ein euklidischer Ring ist. Dabei wurde die Normfunktion N(a + bi) = |a + bi|² = a² + b² verwendet. Man beweise, dass für alle α,β ∈ R gilt:

a) α teilt die Norm N(α):
b) Aus α | β folgt N(α) | N(β):
c) α ∈ R* (d.h. α ist Einheit in R) ⇔ N(α) = 1.

Komme mit dieser Aufgabe leider nicht zurecht und würde mich über jede Hilfe von euch freueen :)

Answer 1

a)  Sei  α=a+bi ==>   N(α)=a^2 + b^2

und (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 =   N(α)

Also gibt es ein Element in ℤ[i]  (nämlich a-bi) ,

das mit a+bi gerade N(α) ergibt, also ist

a-bi ein Teiler von N(α).

b)  α | ß ==> es gibt ein z∈ℤ[i] mit  α*z=ß

==>  N( α*z)=N(ß)

Nun ist aber N( α*z) = N( α)*N(z)  [ Beweis s.u.]

          ==>   N( α)*N(z) = N(ß)

         ==>    N( α) | N(ß).

zu : N( α*z) = N( α)*N(z) betrachte

        α=a+bi und z=x+yi

==>   α*z=(a+bi )(x+yi) = ax-by + i*(ay+bx)

==>   N( α*z) = (ax-by)^2  + (ay+bx)^2

                 = (ax)^2 -2axby + (by)^2 + (ay)^2 + 2aybx + (bx)^2

           = (ax)^2 + (by)^2 + (ay)^2 + (bx)^2

           = (a^2 + b^2 ) * ( x^2 + y^2 ) = N( α)*N(z)

c) α ∈ R* (d.h. α ist Einheit in R) ⇔ N(α) = 1.

Sei α ∈ R* ==>  Es gibt z ∈ R*  mit α*z=1

==>       N(α*z)=N(1) = 0^2 + 1^2 = 1   und so:

==>      N(α)* N(z) = 1 und weil N(α)≥0 und N(α)∈ℤ ==> N(α)=1

umgekehrt: Sei α ∈ R und N(α)=1 und sei α=a+bi

Dann ist ( siehe Teil a) (a+bi)*(a-bi) =  N(α)=1

also ist a-bi das Inverse von α  und es ist auch in R,

also ist α eine Einheit.

Comments

Wahnsinn! :)

Gilt dann auch die Umkehrung von b)?

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Der Beweis der Umkehrung steht hinter

umgekehrt: Sei α ∈ R und N(α)=1 und sei α=a+bi..........