Untervektorräume Beweis

Question

Aufgabe:

Es seien U1, U2, U3, U4 Untervektorräume von V . Beweisen Sie oder widerlegen Sie folgende
Aussagen:
(i) (U1 ⊕ U2) ∩ (U3 + U4) ist stets ein Untervektorraum von V
(ii) (U1 ∪ U2) ∩ U3 ist stets ein Untervektorraum von V

Problem/Ansatz:

Ich bin total am verzweifeln, kann mir bitte jemand mit dieser Frage helfen?

Ich wäre euch wirklich super dankbar.

Answer 1

Was hattet ihr denn schon gezeigt: Du brauchst für (i) 3 Sachen:

U = U1 ⊕ U2 ist ein UR. von V

W = U3 + U4  ist ein UR. von V

 U ∩ W ist ein UR. von V

ii)   (U1 ∪ U2) ∩ U3 ist keiner. Gegenbeispiel

$$U1=<\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}>U2=<\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}>U1=<\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}>$$

\(\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)∈ (U1 ∪ U2 ) ∩ U3   und \(\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\)∈ (U1 ∪ U2 ) ∩ U3

aber die Summe nicht, weil nicht in U1 ∪ U2.