Untervektorräume, Beweis, Dimension

Question

Hallo ich habe ein Problem folgende Aufgabe zu beweisen.

Sei U ein Untervektorraum von V mit $$dim(U) = dim(V) = n \in N$$

Nun soll ich zeigen, dass U = V gilt.

Mein Denkansatz (wahrscheinlich falsch):

Die Dimension ist ja die Anzahl der Basisvektoren. Basisvektoren sind linear unabhängig - also lassen sich aus ihnen keine Untervektorräume bilden, denn das ginge ja nur, wenn man aus den Vektoren mit Addition und Multiplikation wieder Vektoren "erschaffen" könnte, die im Untervektorraum liegen... ???

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Sei (u1,u2,...,un ) eine Basis für U.

Die ist auch linear unabhängig in V.

und lässt sich die zu einer

Basis von V ergänzen. Da alle Basen

von V gleichviele Elemente haben

( nämlich n Stück, wegen dim(V)=n )

wird nichts mehr ergänzt, also ist

(u1,u2,...,un ) eine Basis von V und

damit U=V.