ich habe eine Aufgabe zu Topologie wieder.
Seien (X,d) ein kompakter metrischer Raum und (An)n∈N eine Folge abgeschlossener, nicht-leerer Teilmengen von X. Dabei sei An+1 ⊂ An ∀n∈ℕ.
Beweise : ∩ An ≠ ∅. wobei der Schnitt n=1 bis ∞ geht.
Meine Überlegungen:
Sei ∩ An ≠∅ und sei Aj0 die beschränkte Menge.Dann gilt, dass Aj0 kompakt ist,da beschränkt und abgeschlossen.Da Aj0 kompakt ist gilt : ∃ Aj1c.....Ajnc mit Ajoc , ∪ Aivc (Vereinigung)( und v ist noch mal ein Index von i sowie k Index von j anderen)
-->∩ Ajk für k∈{0,...m}
Dann gilt, dass der Durchschnitt von Ajk leer ist,da Schnitt endlich vieler Mengen abgeschlossen.
Also Widerspruch ?
Ich weiß leider nicht, ob ich das so beweisen kann oder Iwo falsch überlegt habe.
Kann mir bitte einer weiterhelfen bzw. sagen , ob das richtig ist oder falsch und wenn ja wo ?
Außerdem versuche ich ein Gegenbeispiel zu konstruieren, sodass die Aussage aus a nicht im Allgemeinen stimmt, wenn (X,d) nicht kompakt oder oder halt die Menge An nicht abgeschlossen.Hätte da jemand eine Idee ?
Gruß
Elanur
