Äquivalenzrelationen in R^2

Question

Aufgabe:

Auf der Menge R² definieren wir die Relation

(x,y)∽(x',y') :<=> y=y' und x' = x + ay für ein a ∈ R.

(i) Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

(ii) Ist die Menge R² endlich? Falls ja, geben Sie alle Elemente an. Falls nein, begründen Sie, warum dies nicht der Fall ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zu (i) sieht folgendermaßen aus:

Seien x,y,x',y',a ∈ R.

Reflexiv: (x,y) ∽ (x,y)

Symmetrisch: Da y=y', gilt (x,y)∽(y',x).

Transitiv: Angenommen es gelten (x,y)∽(y',x) und (y',x)∽(x',y'), dann gilt auch:

(x,y)∽(y',x)∽(x',y').

Daraus folgt: x∽x'. Also ist (x,y)∽(x',y') :<=> y=y' und x' = x + ay eine Äquivalenzrelation.

Kann mir jemand sagen ob das richtig ist oder absolut falsch oder ich vielleicht ganz anders an die Aufgabe rangehen soll? Ich finde leider absolut keinen Anschluss zu diesen Aufgaben und versuche mir was etwas zusammen zu puzzeln. Ich verzweifle wirklich. Zu (ii) fällt mir leider absolut gar nichts ein. :(

Answer 1

1. Reflexivität:

Jedes Element (x,y) muss zu sich selbst äquivalent sein.

(x,y) ∽ (x,y)

Dies ist offensichtlich erfüllt, da y = y' und x' = x + a * 0 = x für a = 0 gilt.

2. Symmetrie:

Wenn (x,y) zu (x',y') äquivalent ist, dann muss auch (x',y') zu (x,y) äquivalent sein.

(x,y) ∽ (x',y') => (x',y') ∽ (x,y)

Angenommen, (x,y) ∽ (x',y') gilt. Dann folgt y = y' und x' = x + ay für ein a ∈ R.
Einsetzen von y' = y und x = x' - ay in die Bedingung (x',y') ∽ (x,y) ergibt:

y = y' und x = (x' - ay) + a'y für ein a' ∈ R

Dies ist äquivalent zu y = y und x' = x + (a' - a)y.

Da a' beliebig gewählt werden kann, können wir a' = a wählen, um die Gleichung x' = x + ay zu erhalten.
Somit ist die Symmetrie der Relation nachgewiesen.

3. Transitivität:

Wenn (x,y) zu (x',y') äquivalent ist und (x',y') zu (x'',y'') äquivalent ist, dann muss auch (x,y) zu (x'',y'') äquivalent sein.

(x,y) ∽ (x',y') und (x',y') ∽ (x'',y'') => (x,y) ∽ (x'',y'')

Angenommen, (x,y) ∽ (x',y') und (x',y') ∽ (x'',y'') gelten. Dann folgt:

y = y' und x' = x + ay für ein a ∈ R
y' = y'' und x'' = x' + a'y' für ein a' ∈ R

Einsetzen von y' = y und x' = x + ay in die zweite Gleichung ergibt:

y'' = y und x'' = (x + ay) + a'y für ein a' ∈ R

Dies ist äquivalent zu y = y und x'' = x + (a + a')y.

Somit ist die Transitivität der Relation nachgewiesen.