Beweisen dass etwas teilbar durch 6 ist

Question

Aufgabe:

Benutzen Sie Z₆ (Z = ganze Zahlen) um zu beweisen, dass n^3 − n durch 6 teilbar ist für
n ∈ N (N = natürliche Zahlen)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Idee wie ich Z₆ nutzen soll, und auch sonst einfach keine Ahnung was die da für einen Weg von mir erwarten... ich bin beim beweisen einfach total überfragt!

Answer 1

n∈ℕ

Zu zeigen,

$$6|(n^3-n)$$Vorbemerkung:$$n^2+n=2m ; m∈ℕ$$Ind.Anfang$$6|(1^3-1)=0$$Ind.Annahme$$6|(n^3-n)=6a; a∈ℕ$$$$(n+1)^3-(n+1)=$$$$n^3+3n^2+3n+1-n-1=$$$$(n^3-n)+3(n^2+n)=$$$$6a+3(2m)=6(a+m)$$Ind. Schluss$$6|((n+1)^3-(n+1))$$

Comments

Ja auf diese Antwort ist eine Lernpartnerin nach langem überlegen auch gekommen.

Answer 2

die Antwort ist völlig korrekt, erfüllt aber nicht die Aufgabenstellung:

Benutzen Sie Z₆ (Z = ganze Zahlen) ...

Die Menge \(\mathbb Z_6\) besteht aus den Zahlen 0 bis 5. Eine Multiplikation ist hier definiert, als eine 'normale' Multiplikation und anschließend berechnet man den Rest, der bei der Ganzzahl-Division durch 6 übrig bleiben würde.

Beispiel: $$5 \cdot 5 = 24 + 1 \equiv 1 \mod 6$$Jetzt schau Dir an, was in \(\mathbb Z_6\) passiert, wenn man ein Element \(n\) dreimal mit sich selbst multipliziert:$$\begin{array}{c|cc}n& n^2& n^3\\ \hline 0& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 2& 4& 2\\ 3& 3& 3\\ 4& 4& 4\\ 5& 1& 5\end{array} \quad n \in \mathbb Z_6$$D.h. offensichtlich ist $$n^3 \equiv n \mod 6 $$und nun ziehe auf beiden Seiten \(n\) ab:$$n^3 - n \equiv 0 \mod 6$$heißt auch: der Ausdruck \(n^3-n\) ist immer durch \(6\) teilbar.

Answer 3

Laut Kleiner fermatscher Satz ist

        a^p ≡ a (mod p)

falls p eine Primzahl ist. 3 ist eine Primzahl, also ist

        n³ ≡ n (mod 3)

und somit

        n³ - n ≡ 0 (mod 3).

Ist also

        n³ - n ≡ m (mod 6),

dann ist

        m ≡ 0 (mod 6) oder m ≡ 3 (mod 6).

Dabei kann n³ - n ≡ 3 (mod 6) nicht sein, weil n³ - n gerade ist.

Comments

Answer 4

n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)

Wir haben ein Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen.

Davon ist mindestens eine durch 2 teilbar und eine durch 3. Deshalb muss es auch durch 6 teilbar sein.

:-)