LGS und Vektoren - Berechnen Sie den Lösungsvektor, die die kleinste Euklidische Länge besitzt.

Question

Hallo liebe Mathe-Community,

ich habe ein Problem mit ner Aufgabe und wäre euch echt dankbar, wenn ihr mir beim Lösen helfen könntet :)

Aufgabe:

Gegeben ist das LGS:       0,5x2 + 2x3 = 3
                                         x1 + x2 - x3 = -2

                                      x1+2x2+3x3 = 4

a) Allgemeine Lösung berechnen durch den Gauß-Algorithmus.
  Da habe ich den Lösungsvektor:

$$ x = \begin{pmatrix} -8+5λ\\6-4λ\\λ \end{pmatrix} $$ 

b) Berechnen Sie den Lösungsvektor, die die kleinste Euklidische Länge besitzt. Was die Euklidische Länge ist weiß ich zwar, aber wie ich das hier mit dem Lambda mache, bereitet mir Schwierigkeiten.

Answer 1

Hallo,

dein Lösungsvektor ist richtig.

Die euklidische Länge √( (-8+5λ)² + (6-4λ)² + λ² )  wird minimal, wenn der Term unter der Wurzel minimal wird. Dazu kannst du diesen vereinfachen und seine  Ableitung = 0 setzen. [ →  λ = 32/21 ]

Einsetzen von λ in deinen Lösunsvektor ergibt den Lösungsvektor, der die kleinste euklidische Länge besitzt.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank dir. Das Ergebnis wäre dann:

$$ \vec{x}=\begin{pmatrix} -0,38\\-0,1\\1,52 \end{pmatrix} $$ , richtig?

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Bei der 3. Koordinate erhalte ich 2,32

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x3 = λ = 32/21 = 1,52 oder nicht?

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Doch, hatte das aus Versehen quadriert.

Exakt wäre natürlich [ -8/21 ; -2/21 ; 32/21 ]

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Ok. Vielen Dank für die Hilfe :)

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Gern geschehen.

Answer 2

Falls dein Lösungsvektor stimmt: Wähle λ so, dass

(-8+5λ)²+(6-4λ)²+λ² minimal wird.