Zwei euklidische Bewegungen in der Form Ax+b angeben

Question

Geben Sie die zwei euklidischen Bewegungen ℝ²→ℝ² in der Form x↦Ax+b mit Matrix A und Vektor b an, welche

(0,0)↦(1,2) und (0,(2)^1/2)↦(2,3).

Aus der ersten Bewegung folgt A(0,0)+b=(1,2) also b=(1,2).

Damit ist A(0,(2)1/2)=(2,3)-(1,2)=(1,1)

Aus Gründen der Vereinfachung habe ich nun durch 2^1/2 geteil und erhalte dann

A(cos(π/2),sin(π/2))=(cos(π/4),sin(π/4))

A ist ja eine 2x2 Matrix also kann ich durch multiplizieren sehen, dass a₁₂=1/(2^1/2)=a₂₂ gelten muss.

Wie komme ich jetzt auf die orientierungserhaltende Bewegung? Ich habe jetzt bereits a₁₂ und a₂₂ ausgerechnet aber wie komme ich auf a₁₁ und a₁₂? Oder rechne ich a₁₂ und a₂₂ auch nicht so aus weil es dafür eine andere Regel gibt?

Wir haben dieses Thema leider in der Vorlesung nicht mehr geschafft, müssen es aber für die Klausur können und die Lösung lautet wie folgt

A=(cos(-π/4)    -sin(-π/4)       =                            1/2  (2^1/2) ( 1        1

     sin(-π/4)      cos(-π/4))                                                      -1        1)

Die orientierungsumkehrende Bewegung ist

A=(cos(-3π/4)    -sin(-3π/4)     =                         1/2  (2^1/2) (-1        1

    sin(-3π/4)      cos(-3π/4))                                                    1         1)

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Du weißt das deine Verschiebung [1; 2] ist. Also brauchst du eine Drehung die folgende Abbildungen (vor der Verschiebung) bereitstellt

[0; 0] → [0; 0]
[0; √2] → [1; 1]

Ersteres macht jede Drehung um den Ursprung. Zweites ist eine Drehung im Uhrzeigersinn um 45° = π/4.

Das ergibt:

[COS(-45°), - SIN(-45°); SIN(-45°), COS(-45°)]·[x; y] + [1; 2]

√2/2·[1, 1; -1, 1]·[x; y] + [1; 2]

Das ist also die orientierungserhaltende Abbildung.

Comments

Ok, dankeschön das habe ich schon mal teilweise verstanden.

Dann ist hier A eine Drehmatrix die immer gegeben ist durch

A=(cosφ             -sinφ

     sinφ                cosφ)

und ich muss dann nur noch das φ berechnen.

Dazu nochmal eine Frage. Ist A bei einer solchen Aufgabenstellung immer die Drehmatrix und ich muss dann das entsprechende φ berechnen, damit die Gleichung erfüllt ist?

Und dass [0; 0] → [0; 0]  die Drehung um den Uhrzeigersinn ist, habe ich auch verstanden, allerdings verstehe ich noch nicht, warum[0; √2] → [1; 1] die Drehung um 45 Grad ist, wahrscheinlich stehe ich da gerade voll auf dem Schlauch.

Kannst du mir vielleicht nocheinmal weiterhelfen?

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Dazu nochmal eine Frage. Ist A bei einer solchen Aufgabenstellung immer die Drehmatrix und ich muss dann das entsprechende φ berechnen, damit die Gleichung erfüllt ist?

ja. Orientierungserhaltend ist die Verschiebung und die Drehung und die Punktspiegelung welche aber eine Drehung um 180 Grad ist.

Orientierungsumkehrend sind

z.B. die Achsenspiegelung.

allerdings verstehe ich noch nicht, warum[0; √2] → [1; 1] die Drehung um 45 Grad ist, wahrscheinlich stehe ich da gerade voll auf dem Schlauch.

Zeichne dir beide Punkte mal als Ortsvektoren vom Koordinatenursprung ein. Dann solltest du das sehen.

Wenn nicht melde dich ruhig nochmals.

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Vielen Dank nochmal.

Dann weiß ich jetzt wie die Matrix A immer aussieht.

Wenn die Abbildung orientierungsumkehrend ist, dann hat die passende Matrix A die Form

A=(cosφ            sinφ

    sinφ               -cosφ)

oder? Und ich muss wieder das φ entsprechend berechnen?

und ich glaub ich hab verstanden, warum[0; √2] → [1; 1] die Drehung um 45 Grad ist. Der Punkt warum[0,√2]  liegt auf der y-Achse und wenn man dann um 45 Grad dreht ist man beim Punkt [1 , 1]. Beim 'Punkt [0, √2] ist φ=π/2 und beim Punkt[ 1,1] ist φ=π/4

Jetzt verstehe ich nur noch nicht, wie ich auf -π/4 komme???

Wieso rechne ich  π/4 - π/2 = -π/4 und nicht  π/2 - π/4 = π/4

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Jetzt verstehe ich nur noch nicht, wie ich auf -π/4 komme???

Drehwinkel = neuer Winkel - alter Winkel

π/4 - (π/2) = ...

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Ah super vielen Dank für deine Antwort das hat mir sehr weitergeholfen!!!

Answer 2

Ich habe jetzt bereits a12 und a22 ausgerechnet aber wie komme ich auf a11 und a12? Oder rechne ich a12 und a22 auch nicht so aus weil es dafür eine andere Regel gibt?

Wegen der Kenntnis von a11 und a12 (und A(0,(2)1/2)=(2,3)-(1,2)=(1,1) )

 hast du doch Folgendes

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & b \\ c & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$

Das gibt eine Gleichung für b :

b*√2 = 1     und  wegen c=-b hast du auch  c.

Comments

Woher weist du denn, dass a₁₁=1/(2^1/2) ist???

Ich weiß doch eigentlich nur dass a₁₂ und a₂₂ also bei dir b = d= 1/(2^1/2) wenn ich das ausrechne oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Und wo fließt ein, dass ich die orientierungserhaltende Bewegung ausrechnen soll?