involutorische Bewegungen

Question

derzeit beschäftige ich mich mit folgender Aufgabe:

Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, n∈N, und q ein Punkt von V

Die Abbildung Sq: V→V, Sq(x)= 2q-x

a)Zeigen Sie: Sq ist eine involutorische Bewegung von V mit q als einzigen Fixpunkt, die ersten beiden Sachen habe ich schon, da SqoSq=id und Sq(q)=q jetzt muss ich noch zeigen, dass q der einzige Fixpunkt ist, geschieht dies meist nicht so, dass man annimmt q' sei ein weiterer Fixpunkt und dann muss man zeigen q=q' ?

b) Finden Sie eine Translation t mit Sq= tS_ot^-1
da hab ich leider gar keine Ahnung

c) Geben Sie die Normalformen B_o orthogonaler Abbildungen von V an und bestimmen Sie unter Ihnen alle Matrizen, deren Quadrat die Einheitsmatrix ist
auch hier weiß ich leider nicht so wirklich was gemeint ist

Answer 1

Bei a isr deine Idee richtig.

Bei b ist es die. Verschiebung um -q.

Comments

erstmal vielen Dank

kannst du mir sagen, was man sich bei b) überlegen muss bzw. wie ich nachvollziehen kann, dass -q richtig ist

Answer 2

Hi,

(1) das \( S_q \) eine involutorische Bewegung ist folgt aus $$ S_q ( S_q (x) ) = S_q( 2q-x) = 2q- (2q-x) = x $$

$$  (2) \quad S_q(q) = 2q-q = q $$ also ist \( q \) ein Fixpunkt.

Sei \( q' \) ein zweiter Fixpunkt dann gilt $$ S_q(q') = 2q - q' = q' $$ D.h. $$  2q = 2q' $$ also $$  q = q' $$

Für die Translation gilt \( t(x) = x-a \). Damit gilt $$ t^{-1}(x)  = x +a $$ weil \( t(t^{-1} (x ) = x\) gilt.

Damit ist folgende Gleichung zu lösen $$  t(S_0(t^{-1}(x))) = t(S_0(a+x)) =  t( -(x+a) ) = -(a+x) -a = -2a - x = 2q - x $$ Daraus folgt \( a = -q \) D.h. die Translation ist $$ t(x) = x+q $$

Was ist mit Aufgabe (c) genauer gemeint.

Comments

Meint wohl:

t(x) = x+q

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Hab ich korrigiert, danke für den Tipp.