involutorische Bewegungen

Question

derzeit beschäftige ich mich mit folgender Aufgabe:

Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum, n∈N, und q ein Punkt von V

Die Abbildung Sq: V→V, Sq(x)= 2q-x

a)Zeigen Sie: Sq ist eine involutorische Bewegung von V mit q als einzigen Fixpunkt, die ersten beiden Sachen habe ich schon, da SqoSq=id und Sq(q)=q jetzt muss ich noch zeigen, dass q der einzige Fixpunkt ist, geschieht dies meist nicht so, dass man annimmt q' sei ein weiterer Fixpunkt und dann muss man zeigen q=q' ?

b) Finden Sie eine Translation t mit Sq= tS_ot^-1
da hab ich leider gar keine Ahnung

c) Geben Sie die Normalformen B_o orthogonaler Abbildungen von V an und bestimmen Sie unter Ihnen alle Matrizen, deren Quadrat die Einheitsmatrix ist
auch hier weiß ich leider nicht so wirklich was gemeint ist

Answer 1

Bei a isr deine Idee richtig.

Bei b ist es die. Verschiebung um -q.

Comments

erstmal vielen Dank

kannst du mir sagen, was man sich bei b) überlegen muss bzw. wie ich nachvollziehen kann, dass -q richtig ist

Answer 2

Hi,

(1) das $S_q$ eine involutorische Bewegung ist folgt aus $$S_q ( S_q (x) ) = S_q( 2q-x) = 2q- (2q-x) = x$$

$$(2) \quad S_q(q) = 2q-q = q$$ also ist $q$ ein Fixpunkt.

Sei $q'$ ein zweiter Fixpunkt dann gilt $$S_q(q') = 2q - q' = q'$$ D.h. $$2q = 2q'$$ also $$q = q'$$

Für die Translation gilt $t(x) = x-a$. Damit gilt $$t^{-1}(x) = x +a$$ weil $t(t^{-1} (x ) = x$ gilt.

Damit ist folgende Gleichung zu lösen $$t(S_0(t^{-1}(x))) = t(S_0(a+x)) = t( -(x+a) ) = -(a+x) -a = -2a - x = 2q - x$$ Daraus folgt $a = -q$ D.h. die Translation ist $$t(x) = x+q$$

Was ist mit Aufgabe (c) genauer gemeint.

Comments

Meint wohl:

t(x) = x+q

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Hab ich korrigiert, danke für den Tipp.