Rekonstruieren Sie mit Hilfe der Gleichung a10 mod 11 = X 9 i=1 i · ai mod 1 die fehlende Ziffer einer Ziffernfolge

Question

Aufgabe:

Die Prüfziffer genügt der Gleichung a10 mod 11 = X 9 i=1 i · ai mod 11.

Rekonstruieren Sie mit Hilfe der obigen Gleichung die fehlende Ziffer (an der Stelle des ?) in der Ziffernfolge: 3 − 54 − 05?654 − 0.

Problem/Ansatz:

Hier kommt 5 heraus, weil die vorgegebenen Kombinationen insgesamt 168 ergeben und man dann eine durch 6 teilbare Ziffer ergänzen muss die in der Summe mit 168 durch 11 restlos teilbar ist.
Aber wie geht das mit Hilfe der oben genannten Formel zu berechnen?

Comments

Die Prüfziffer genügt der Gleichung a10 mod 11 = X 9 i=1 i · ai mod 11

Die Aufgabe ist unklar. Welches ist die Prüfziffer? Ist es die 0 am Ende?

Wie genau heißt die Gleichung? Wenn \(a_{10}\) die Prüfziffer ist, ist dann $$a_{10} \equiv \sum_{i=1}^9 a_i \mod 11$$und eine 10 würde man als Ziffer X schreiben. Ist das so richtig?

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Genau.

Die Gleichung ist so wie angegeben korrekt und die Aufgabe lautet: Rekonstruieren Sie mit Hilfe der obigen Gleichung die fehlende Ziffer (an der Stelle des ?) in der Ziffernfolge: 3 − 54 − 05?654 − 0.

Ich weiß nicht, ob so wie ich gelöst habe, es der Aufgabenstellung hinsichtlich „mit Hilfe der obigen Gleichung“ entspricht.

Habe alle gegeben Ziffern aufgeschrieben und geschaut, was da raus kommt. Da ist die Summe 168. das entspricht ja 15 x 11 = 165.

Und dann habe ich durch ausprobieren geschaut, was dann eine durch 6 teilbare Zahl ergibt. Also schrittweise:
16 x 11 = 176 Differenz zu 165 sind 11 nicht durch 6 teilbar.
Dann 17x11 usw.
dann letztlich 18x11=198
Differenz 30, also 5x6

Aber das geht vielleicht auch einfacher/schneller durch einsetzen von Variablen und umstellen oder?

Answer 1

Hallo Jana,

also die Prüfziffer \(a_0\) ist die 0 am Ende. Ausgangsbasis ist die Gleichung$$a_{10} \equiv \sum_{i=1}^9 i \cdot a_i \mod 11$$Die 6.Ziffer ist unbekannt. Also ziehe ich sie ab und addiere sie wieder$$a_{10} \equiv \underbrace{\sum_{i=1}^9 i \cdot a_i - 6a_6}_{=168} + 6a_6\mod 11$$Jetzt die bekannen Zahlen einsetzen und etwas rechnen$$\begin{aligned} 0 &\equiv 168 + 6a_6 \mod 11 && \left|\, +(11-6)a_6\right. \\ 5a_6 &\equiv 3 \mod 11 && \left|\, \cdot 9 \right.\\ (44+1) a_6 &\equiv 27 \mod 11\\ a_6 &\equiv 5 \mod 11\end{aligned}$$Die 9 ist die multiplikative Inverse der 5 in \(\mathbb Z_{11}\). Bei so kleinen Zahlen wie der 11 bekommt man das über Probieren schnell heraus. Sind die Zahlen größer, hilft der erweiterte euklidische Algorithmus.