Integration einer rationale Funktion

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgende Integration einer rationale Funktion

\( \int \frac{x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x \)

Answer 1

Hi,

ich schlage eine Partialbruchzerlegung (Ist das Verfahren bekannt?) vor, das könnte in etwa so aussehen:

$$\frac{x+1}{(x^2+1)^3(x-1)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} + \frac{Ex + F}{(x^2+1)^3} + \frac{G}{x-1} + \frac{H}{(x-1)^2} $$

Dann wird als nächstes der Hauptnenner gebildet (enthalte ich hier einmal vor). Schließlich folgt der Koeffizientenvergleich und das aufstellen eines LGS, dessen Lösungen wie folgt lauten:

$$A = \frac{5}{8},\quad B = \frac{3}{8},\quad C = \frac{3}{4},\quad D = \frac{1}{4},\quad E = \frac{1}{2},\quad F = -\frac{1}{2},\quad G = -\frac{5}{8},\quad H = \frac{1}{4}$$

Zusammen ergibt dies:

$$\frac{x+1}{(x^2+1)^3(x-1)^2} = \frac{\frac{5}{8}x+\frac{3}{8}}{x^2+1} + \frac{\frac{3}{4}x+ \frac{1}{4}}{(x^2+1)^2} + \frac{\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}}{(x^2+1)^3} + \frac{-\frac{5}{8}}{x-1} + \frac{\frac{1}{4}}{(x-1)^2} $$

Diese Brüche sind dann der Reihe nach einzeln zu integrieren...