Sei M= {1,2,3,4}. Konstruieren sie eine Relation, die reflexiv und symmetrisch ist, aber nicht transitiv.

Question

Sei M= {1,2,3,4}.

(1) Konstruieren Sie eine Relation R ⊂ M x M, die reflexiv und symmetrisch ist, aber nicht transitiv.

Um ehrlich zu sein, denke ich, dass diese Aussage keinen Sinn ergibt. Ist sowas überhaupt möglich? xD

Also bestimmt ist das möglich, aber doch nicht in diesem Fall oder nicht?

Kann mir jemand weiterhelfen? ^^'

Weil egal was ich für ,,~'' einsetze, ich komme nicht zum erwünschten Ergebnis...

Answer 1

Ich hab mal ein Blatt genommen, die 4 Knoten 1, 2, 3, 4  an den Ecken eines Quadrats eingezeichnet. Für Reflexivität muss jeder Knoten eine Schleife ("Loop") haben.

Dann habe ich die 4 Quadratseiten durch Doppelpfeile ersetzt. Damit ist meine Relation komplett dargestellt. Sie ist nun offensichtlich reflexiv und symmetrisch, aber doch nicht transitiv, weil etwa die beiden "Diagonalen" des Quadrates weder durch einfache noch durch doppelte Pfeile besetzt sind. Es gilt also z.B.  R(1,2) und R(2,3), aber nicht R(1,3) , was bei einer transitiven Relation erfüllt sein müsste.

(Ich wollte die Relation nicht allzu "mager" gestalten ...)

Comments

Achso...

Das Beispiel war super!

Ich danke dir vom Herzen!

Answer 2

Servus Dr. Schüler! Also die Menge R, die Teilmenge von MxM sein soll, die kannst du einfach in geschweiften Klammern angeben. Da die Relation R reflexiv sein soll, muss R schon mal so aussehen:

$$\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\}$$

Überleg dir mal, welche Eigenschaften dieses von mir gewählte R erfüllt.

Solltest du jetzt noch ein Element hinzufügen, sagen wir

$$ (1,2) $$

dann musst du auch

$$ (2,1) $$

hinzufügen. Warum eigentlich?

Comments

Weil es äquivalent sein muss ?

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Nö, weil es symmetrisch sein muss. Schau dir die Definition von "symmetrisch" noch mal an. Da wird, angewandt auf unser Beispiel, sowas stehen wie "WENN (1,2) in R enthalten ist, DANN muss auch (2,1) in R enthalten sein". Das ist wichtig zu verstehen.

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Achso, darauf wolltest du hinaus ^^

Okei, Dankeschön ich schaue mir das nochmal an.

Gracias!