Hallo, habe diese Aufgabe:
Es sei \( \Omega \subset \mathbb{R}^{d} \) offen, \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Funktionen \( f_{n}: \Omega \rightarrow \mathbb{C}, \) und \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \)
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) \( \left(f_{n}\right) \) ist kompakt konvergent gegen \( f \).
(b) \( \left(f_{n}\right) \) ist lokal gleichmäßig konvergent gegen \( f, \) d.h., für alle \( z \in \Omega \) gibt es eine Umgebung \( U \) von \( z, U \subset \Omega, \) sodass
\( \sup \left\{\left|f(w)-f_{n}(w)\right|: w \in U\right\} \rightarrow 0 \text { für } n \rightarrow \infty \)
Kann mir jemand weiterhelfen?
