Komplexe Zahlen Eigenschaft

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass es für jede komplexe Zahl z ∈ C, z 6= 0, eine positive reelle Zahl r und eine Zahl α ∈ [0,1) gibt mit der Eigenschaft

z = r·(cos(α2π) sin(α2π)).

Zeigen Sie außerdem, dass r und α durch z eindeutig bestimmt sind.

Problem/Ansatz: Ich finde keinen Ansatz

Answer 1

z = r·(cos(α2π) sin(α2π)).

Das soll sicherlich

        z = r·(cos(α·2π) + i·sin(α·2π))

heißen. Das ist die Darstellung von z in Polarkoordinaten.

Zeichne eine komplexe Zahl

        z = a + bi

in der Gaußschen Zahlenebene ein. Zeichne das Dreieck aus den Punkten Z=(a|b), O=(0|0) und A=(a|0) ein. Dann ist r = |OZ| und α·2π ist der Winkel zwischen reeller Achse und OZ.

Comments

also cos(α·2π) und sin(α·2π) steht in Klammern übereinander

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Also \(z=r\cdot\begin{pmatrix}\cos(\alpha\cdot 2\pi)\\\sin(\alpha\cdot 2\pi)\end{pmatrix}\)?

Das macht für die Aufgabe keinen Unterschied.

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Ja genau so, okay dann vielen Dank, ich wusste nicht, was das bedeuten soll

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Die Notation \(z=r\cdot\begin{pmatrix}\cos(\alpha\cdot 2\pi)\\\sin(\alpha\cdot 2\pi)\end{pmatrix}\) deutet an, dass komplexe Zahlen mit Vektoren des \(\mathbb{R}^2\) identifiziert werden.

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okay gut jetzt versteh ich es :)