Anzahl positiver Teiler

Question

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

a) Zeigen Sie:
Die Menge aller positiven Teiler T+(a) einer natürlichen Zahl a = pα1 ∙ pα2 ∙ ... ∙ pαr
  hat(α1 +1)∙(α2 +1)∙... ∙(αr +1)vieleElemente.
b) Bestimmen Sie mit Teilaufgabe a) alle natürlichen Zahlen unter 1000, welche genau 15 Teiler besitzen.

Answer 1

b) Ansatz:: (α1 +1)∙(α2 +1)∙... ∙(αr +1)=15 

Da die Klammern alle Werte > 1 haben, geht das nur mit

         3*5=15

also gibt es bei der Zahl genau 2 Primfaktoren und zwar den einen 4-mal

und den anderen 2-mal. Die Zahl ist also

p1^2*p2^4  und das muss unter 1000 sein.

Da muss man halt mal probieren, etwa p1=2 und p2=3 dann äre

die erste Möglichkeit   2^2 * 3^4 = 324   oder andersherum

                   2^4 * 3^2 = 144

Dann vielleicht mit 2 und 5 als Primfaktoren gibt einmal

             400 und das andere Mal wäre es schon 2500,

also zu groß.

Dann mal mit 2 und 7  oder vielleicht 3 und 7   etc.