Zeigen Sie, dass ein v ∈ V existiert, sodass die Vektoren linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und f ein Endomorphismus von V mit
f^n = 0 und f^(n−1) ≠ 0. Zeigen Sie, dass ein v ∈ V existiert, sodass die Vektoren

v, f(v),f^2(v),...,f^(n-1)(v)

Linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das z.B Vektoren linear unabhängig sind, wenn ich bei einem linearen Gleichungssystem die triviale Lösung rausbekomme aber bringt mir das hier was? Die triviale Lösung ist ja wenn 0 rauskommt und f^n ist ja null.

Answer 1

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/685608/aufgabe-von-endomorphismen

Comments

Danke, dass habe ich gar nicht gefunden.

Weist du wie ich dort auf a_n=0 komme? Wenn ich den Rechenweg benutze komme ich auf:

a_n*F^(n+1)=0 und da kann ich nicht folgern, dass a_n null ist, weil F^(n+1) selbst laut Aufgabenstellung 0 ist.

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Das kann nicht sein, zum Schluss musst Du auf $$ a_n F^{(n)}(v) = 0 $$ kommen. Und weil \( F^{(n)}(v) \ne 0 \) ist folgt \( a_n = 0 \)