Man kann sehen, dass \(X\) nur die Werte 0 und 1 annehmen kann und \(Y\) die Werte -1, 0 und 1. Dabei ist \(P(X=0)=\frac{1}{3}\) und \(P(X=1)=\frac{2}{3}\). Die ZV \(Y\) ist gleichverteilt.
Es gilt \(E[Y]=0\) wegen der symmetrischen Gleichverteilung um 0. Weiterhin ist \(E[XY]=-1\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{1}{3}=0\) (das Produkt nimmt jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) die Werte -1, 0 oder 1 an).
Damit ist \(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-E[X]\cdot 0=0\) und damit Unkorreliertheit gegeben.
Die Abhängigkeit zeigen wir einfach per Gegenbeispiel:
Es ist \(P(X=Y=0)=\frac{1}{3}\). Aber \(P(X=0)P(Y=0)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\neq \frac{1}{3}\). Damit liegt Abhängigkeit vor.
