Berechnen Sie die Transformationsmatrizen

Question

Aufgabe: Wie berechne ich die Transformationsmatrizen ?

Problem/Ansatz: Hallo,

irgendwie habe ich noch nicht ganz verstanden wie das mit dem Basiswechsel und den Transformationsmatrizen geht.

Könnte mir jemand anhand dieser Aufgabe helfen wie ich so etwas verrechne und womit ich am besten anfange? Danke für jede Hilfe :)

Text erkannt:

2. Sei \( \mathcal{E}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \) die kanonische Basis sowie \( \mathcal{A}=\{(1,-1,1),(1,-2,2),(1,-2,1)\} \) eine weitere Basis des \( \mathbb{R}^{3} \).
a) Berechnen Sie die Transformationsmatrizen \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{A}} \) und \( T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{E}} \)

Answer 1

Aloha :)

Die Transformationsmatrix von der kanonischen Basis \(E\) zur Basis \(A\) enthält die Bilder der Einheitsvektoren:

$$T^E_A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\-1 & -2 & -2\\1 & 2 & 1\end{pmatrix}$$

In umgekehrter Richtung geht es mit der inversen Matrix:

$$T^A_E=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\\0 & -1 & -1\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank erstmal !!

Wie bist du denn rechnerisch darauf  gekommen ? Weil ich benötige bestimmt eine Rechnung und weiß noch nicht wie ich das rechnerisch lösen kann

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Zur Bestimmung der inversen Matrix gibt es ein einfaches Verfahren. Schreibe neben die Matrix eine Einheitsmatrix. Dann bringst du die Matrix auf die Form der Einheitsmatrix und führst die dazu notwendigen Schritte auch an der Einheitsmatrix durch. Am Ende ist aus der Einheitsmatrix die inverse Matrix geworden:

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\-1 & -2 & -2\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{rrr}{}\\{+\text{Zeile 1}}\\{-\text{Zeile 1}}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{rrr}{+\text{Zeile 2}}\\{\cdot(-1)}\\{+\text{Zeile 2}}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0\\-1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{rrr}{}\\{+\text{Zeile 3}}\\{\cdot(-1)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\\0 & -1 & -1\end{array}\right)$$

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Danke für die Erklärung!

Ich hätte noch eine kleine Frage, bei der nächsten Aufgabe heißt es nämlich dass ich die Koordinaten des Vektors x=(1,-3,5/2) bezüglich der Basis A Berechnen soll.

Ich habe versucht durch das Skript auf die Lösung zu kommen und bin wie folgt vorgegangen:

Ich die erste Transformationsmatrix von oben also die,die wir durch die Bilder der Einheitsvektoren gebildet haben mit der Matrix des Vektors x=(1,-3,5/2) multipliziert und bin dadurch auf das Ergebnis (1/2,0,-(5/2)) gekommen.
Ist die Lösung dann so richtig ?

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Der Vektor \(x\) liegt ja in der Basis \(E\) vor und soll in die Basis \(A\) transformeirt werden. Dazu musst du ihn mit der Matrix \(T^E_A\) multiplizieren (die alte Basis steht oben, die neue steht unten). Das Ergebnis \((0,5|0|-2,5)\) ist richtig, habe ich auch raus.