Kurvendiskussion und Nullstellen

Question

Aufgabe:Nullstellen berechnen bei f(x) = x³/27  - x² /3  +4

÷
Problem/Ansatz: f(x) = 0

x³ × 1/27 - x² × 1/3  + 4 = 0

x^{2  × ( x × 1/27 - 1/3) + 4 = 0}

^{Mit Pq- Formel weiter, aber wie?}

Answer 1

Aloha :)

Bei Polynomen gibt es einen "Trick", um die Nullstellen zu erraten. Dazu muss man den Faktor vor der höchsten Potenz von \(x\) ausklammern:$$f(x)=\frac{x^3}{27}-\frac{x^2}{3}+4=\frac{1}{27}\left(x^3-9x^2+108\right)$$

Alle ganzzahligen Nullstellen müssen nun Teiler von der Zahl ohne \(x\), also hier von der \(108\) sein. Wir probieren also der Reihe nach einzusetzen: \(\pm1,\pm2,\pm3\)... ahhh, \(-3\) passt. Polynomdivision liefert:$$(x^3-9x^2+108)\,:\,(x+3)=x^2-12x+36$$Das Ergebnis ist eine binomische Formel, denn$$x^2-12x+36=(x-6)^2$$

Also haben wir folgende Zerlegung gefunden:$$f(x)=\frac{1}{27}(x-6)^2(x+3)$$Die Nullstellen liegen also bei \(-3\) und \(6\).