Bei normaler Herangehensweise kann man das nicht beweisen, denn eigentlich ist das kein Satz, sondern die DEFINITION für a ≡ b mod n.
Anscheinend habt ihr a ≡ b mod n aber so nicht definiert, sondern anders.
Ich versuche mal, ohne EURE Definition anzufangen:
Aus n | a-b folgt laut Def. der Teilbarkeit:
∃ k ∈ ℤ mit a-b = n·k bzw. mit
a = b + n·k
Die Zahl b lasst sich nach der Grundgleichung der Zahlentheorie darstellen als b=q·n+r mit r ∈ {0, 1, ...,n-1}.
Dann lässt sich a = b+n·k darstellen als a = q·n+r +n·k = (q+k)n + r. Somit lässt a den selben Rest r wie b bei Teilung durch n.