Nachweisen eines Hilfssatzes

Question

Aufgabe:

Ich muss folgendes beweisen.

a und b sind beliebige ganze Zahlen und n eine bel. natürliche Zahl. Es gilt dann, a kongruent b, modulo n, genau dannn wenn n | a-b die Differenz teilt.

Problem/Ansatz: Wir müssen beide Seiten hier beweisen. Von Links nach rechts habe ich bereits gemacht, jedoch fehlt mir die andere Seite. Kann jemand bitte einen Lösungsvorschag machen, da ich selber nicht genau weiss wie ich anfangen soll und ob ich dann richtig weiter mache.

Besten Dank

…

Answer 1

Bei normaler Herangehensweise kann man das nicht beweisen, denn eigentlich ist das kein Satz, sondern die DEFINITION für a ≡ b mod n.

Anscheinend habt ihr a ≡ b mod n aber so nicht definiert, sondern anders.

Ich versuche mal, ohne EURE Definition anzufangen:

Aus n | a-b folgt laut Def. der Teilbarkeit:

∃ k ∈ ℤ mit a-b = n·k bzw. mit

a = b + n·k

Die Zahl b lasst sich nach der Grundgleichung der Zahlentheorie darstellen als b=q·n+r mit r ∈ {0, 1, ...,n-1}.

Dann lässt sich a = b+n·k darstellen als  a = q·n+r  +n·k = (q+k)n + r. Somit lässt a den selben Rest r wie b bei Teilung durch n.