Wie kann man prüfen, ob Vektor b ein Erzeugnis ist?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ist \( \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1,5\end{array}\right) \) im Erzeugnis von \( \vec{a}_{1}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ -1\end{array}\right), \vec{a}_{2}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -4 \\ 4,5\end{array}\right) \) und \( \vec{a}_{3}= \)
\( \left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ -12,5\end{array}\right) ? \) Sie können hier so vorgehen wie im Beispiel nach der Definition des Begriffes Erzeugnis.

Problem/Ansatz:

Wie kann man prüfen, ob Vektor b ein Erzeugnis ist?

Answer 1

Ich würde zuerst prüfen, ob die drei Vektoren a₁ , a₂ , a₃  linear unabhängig sind, z.B. durch Berechnung einer Determinante. Nach meiner Rechnung ist die Determinante nicht gleich null, und daraus folgt, dass diese 3 Vektoren eine Basis des Raumes ℝ³ bilden. Dann gehört also jeder Vektor dieses Vektorraums zum Erzeugnis der drei vorliegenden Vektoren, insbesondere auch der gegebene Vektor b .

Die konkrete Berechnung der Zerlegung bleibt einem so erspart, wenn nur die grundsätzliche Frage gestellt ist, ob b im Erzeugnis von  { a₁ , a₂ , a₃ }  liegt.