Lineare Abbildung F: P2-> P2

Question

Aufgabe:

Lineare Abbildung F: P2→P2

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Bei der Aufgabe 1 a) habe ich leider große Probleme mit der Aufgabe anzufangen, wie gehe ich am besten vor ?

Text erkannt:

1. Sei \( P_{2}:=\{p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid p \) ist reelles Polynom vom Grad \( \leq 2\} \) mit der Basis \( \mathcal{A}:=\left\{p_{0}, p_{1}, p_{2}\right\}, \) wobei \( p_{i}(x)=x^{i}, i=0,1,2 . \) Die lineare Abbildung \( F: P_{2} \rightarrow P_{2} \) sei definiert durch
$$ F(p)(x)=\left(x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\right) p^{\prime \prime}(x)+(x+1) p^{\prime}(x)-4 p(x) $$
a) Zeigen Sie, dass \( M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}(F)=\left(\begin{array}{ccc}-4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Bei Abbildungsmatrizen gibt es 3 wichtige Grundsätze, die du nie vergessen darfst:

1) Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

2) Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

3) Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

Das heißt konkret, du musst die Basis"vektoren" \(1,x,x^2\) der Reihe nach in das Monster \(F(p)(x)\) einsetzen und das Ergebnis wieder mit den Basis"vektoren" ausdrücken.

$$F(1)(x)=\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)\cdot\underbrace{\frac{d^2(1)}{dx^2}}_{=p''(x)}+(x+1)\cdot\underbrace{\frac{d(1)}{dx}}_{=p'(x)}-4\cdot\underbrace{1}_{=p(x)}$$$$\phantom{F(1)(x)}=0+0-4=-4=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}$$$$F(x)(x)=\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)\cdot\underbrace{\frac{d^2(x)}{dx^2}}_{=p''(x)}+(x+1)\cdot\underbrace{\frac{d(x)}{dx}}_{=p'(x)}-4\cdot\underbrace{x}_{=p(x)}$$$$\phantom{F(x)(x)}=0+(x+1)-4x=-3x+1=\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}$$$$F(x^2)(x)=\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)\cdot\underbrace{\frac{d^2(x^2)}{dx^2}}_{=p''(x)}+(x+1)\cdot\underbrace{\frac{d(x^2)}{dx}}_{=p'(x)}-4\cdot\underbrace{x^2}_{=p(x)}$$$$\phantom{F(x^2)(x)}=\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)\cdot2+(x+1)\cdot2x-4x^2=3x-1\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}$$

Damit lautet die Abbildungsmatrix:$$M^A_A(F)=\begin{pmatrix}-4 & 1 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Achja, bevor ich es vergesse: "Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren." ;)

Comments

Dankeschön deine Antworten sind immer sehr hilfreich !

Wenn es bei der Nächste Aufgabe heißt:

Sei f:ℝ3→ℝ3,f(α)= M^A_A(f)α,α∈ℝ3

Dazu soll ich dann eine Basis von kerF berechnen und anhand dessen kerF. Genauso wie Dimension und Basis von ImF

Verwende ich dann dafür die oben gezeigte Matrix ? Und für was genau steht das Alpha ?

Und Entschuldigung falls ich die falsche Schreibweise von M gewählt habe aber irgendwie habe ich das mit den beiden A nicht ganz hinbekommen, ich hoffe man versteht was gemeint ist.

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Bei der Bestimmung des Kerns musst du die Gleichung$$M_A^A(F)\cdot\vec x=\vec 0$$lösen. Das ist hier eine Gerade, also bekommst du für die Basis des Kerns einen Basisvektor.

Bei der Bestimmung einer Basis des Bildes kannst du auch die Matrix \(M_A^A(F)\) verwenden und die lineare Abhängigkeit aus den Spaltenvektoren herausrechnen. Spalte 2 und Spalte 3 unterscheiden sich nur um den Faktor \((-1)\), sind also linear abhängig. Daher kannst du eine von den beiden Spalten weglassen und erhältst dann 2 Basisvektoren des Bildes.

Die Schreibweise \(M^A_B\) bedeutet, dass die Matrix als Eingang (also rechts von ihr) einen Vektor erwartet, dessen Komponenten bzgl. der Basis \(A\) angegeben sind, und als Ausgang (also als Ergebnis) enen Vektor mit Komponenten bzgl. der Basis \(B\) liefert. Hier sind Eingangs- und Ausgangsbasis jedoch beide gleich, sodass du da nichts umzurechnen brauchst.

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Hallo, ich arbeite an einer ähnlichen Aufgabe. Könnte jemand kurz erklären wie man beim einsetzen der Basis"vektoren" auf p´´(x), p´(x) und p(x) kommt?

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@Blackwolf:

Du musst der Reihe nach

$$p(x)=1\quad;\quad p(x)=x\quad;\quad p(x)=x^2$$

einsetzen und die Funktionswerte \(F\) dafür bestimmen.

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Ok dankeerstmal für die schnelle Antwort, aber wie kommt man da auf das d? Oder eher wofür steht es? Ich glaube ich stehe gerade total auf dem Schlauch.

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Das \(d\) steht für Differential, das ist eine andere Schreibweise für die Ableitung:$$p'(x)=\frac{dp}{dx}\quad;\quad f''(x)=\frac{d^2p}{dx^2}$$

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Jetzt hab ich es verstanden, danke.