Ich glaube ich weiß nicht so ganz, wo du jetzt das Problem siehst.
Glaubst du mir inzwischen, dass die Reihe über 1/n(n+1) eine Majorante für 1/(n+1)² ist?
Also völlig gleichgültig, ob sie nun konvergiert, auf jeden Fall gilt für jedes n
1/n(n+1) > 1/(n+1)²
Das kann man auch schnell noch umstellen, um es direkt zu zeigen, multipliziert man nämlich beide Seiten mit (n+1)², erhält man:
(n+1)/n > 1 |*n
n+1 > n |-n
1 > 0
also eine wahre Aussage.
Ich hatte angenommen, die Konvergenz der Folge 1/n(n+1) hättet ihr schon gezeigt, weil sie da ja im Beispiel stand.
Nun, das ist aber auch nicht weiter schwer, ich weiß nicht, ob ihr Partialbruchzerlegung schon hattet?
Man fordert dabei, dass sich ein Bruch in eine Summe von Brüchen mit linearem Nenner zerlegen lässt.
Das heißt in diesem Fall, man fordert
1/n(n+1) = A/n + B/(n+1) (*)
und untersucht, welche Bedingungen für A und B gelten müssen, damit es sich um eine richtige Aussage handelt.
Multipliziert man in (*) beide Seiten der Gleichung mit n(n+1) erhält man:
1 = A*(n+1) + B*n
1 = (A+B)*n + A
Damit diese Gleichung für alle n erfüllt ist, muss offenbar A+B=0 gelten.
Dann bleibt A = 1, also B=-1, damit erhält man die Partialbruchzerlegung:
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
also genau das, was da im Beispiel gegeben ist.
Wenn du nun die Reihe mal ausschreibst und auf jeden einzelnen Bruch die Partialbruchzerlegung anwendest, dann erhältst du:
$$ \begin{array} { l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \ldots + \frac { 1 } { ( n - 1 ) n } + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } } \\ { = \left( \frac { 1 } { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) + \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \right) + \ldots + \left( \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { n } \right) + \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right) } \end{array} $$
Jetzt erkennst du, dass alle Terme mit jeweils einem + und einem - vorkommen, außer 1/1 und 1/n+1.
Alle doppelten Terme heben sich raus, damit bleibt für den Wert der Reihe übrig:
$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = 1 - \frac { 1 } { n + 1 } $$
Damit ist die Reihe konvergent und geht für n gegen Unendlich gegen 1.
Wir wissen nun also, dass die Reihe über 1/n(n+1) gegen 1 konvergiert und dass die Reihe über 1/(n+1)² gegen irgendeine Zahl konvergiert, die kleiner ist als 1.
Wenn wir jetzt zu der Reihe über 1/(n+1)² noch eine einzige Zahl dazuaddieren, dann konvergiert das immer noch, denn der Rest hat sich ja nicht geändert, jetzt aber gegen irgendetwas, das zwischen 1 und 2 liegt. Und da wir jetzt mit einem Indexshift die bereits als konvergent bekannte Reihe zusammen mit der 1 verheiraten können, sodass die 1 in die Bildungsvorschrift integriert wird, ist das genau die Reihe, von der wir die Konvergenz zeigen wollten.