Problem mit Majorantenkriterium: Wann konvergiert eine Reihe wie 1/n² oder 1/(n(n+1))?

Question

Satz Majorantenkriterium:

Seien \( a_{n} \) und \( c_{n} \) Folgen mit \( \left| a _ { n } \right| \leq c _ { n } \forall n \). Wenn \( \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \) konvergiert, so konvergiert \( \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \) absolut. (Man nennt dann \( \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \) eine konvergente Majornte von \( \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \).)

Beispiel (3):

\( \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \ldots = \), denn \( \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \).

Beispiel (5):

Die Reihe \( \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac{1}{n^2} \) konvergiert, denn die Reihe aus Beispiel (3) ist eine konvergente Majorante

Überlegungen:

Wenn ich das richtig verstanden habe dann konvergiert eine Reihe, wenn die Absolutbeträg ihrer Folge stehts kleiner sind als als die Beträge einer Folge, deren Reihe konvergiert. Ist das soweit richtig?

Falls das so ist, verstehe ich Beispiel(5) nicht. Laut Beispiel(5) ist 1/n^2 die Folge an und 1/n(n+1) die Folge cn, deren Reihe gegen 1 konvergiert.

Dann müsste doch IanI≤cn für alle n sein,aber...

a1=1              c1=1/2

a2=1/4          c2=1/6

a3=1/9          c3=1/12

a4=1/16       c4=1/20

Verstehe ich irgendetwas falsch oder wo liegt das Problem?

Answer 1

Du musst hier bei der Summe über a_n den ersten Summanden noch herausnehmen, dann ist das Beispiel (3) eine Majorante der Restsumme.

Und da der erste Summand 1 (also eine endliche Zahl ist) ändert sich damit an der Konvergenz der Reihe nichts.

Wenn du mal in deine ausgerechneten Werte schaust:

a₂ < c₁

a₃ < c₂

a₄ < c₃

und so weiter.

Comments

Kann ich nicht nachvollziehen. Warum muss ich den ersten Summanden herausnehmen und Folgen mit verschiedenen n vergleichen? Warum ändert das nichts an der Konvergenz der Reihe?

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Betrachte die Reihe

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } } $$

Sie ist konvergent, denn sie kann durch eine konvergente Majorante nach oben abgeschätzt werden:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } } \leq \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { * } ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \ldots $$

Dabei haben wir einfach nur bei jedem 1/(n+1)² aus dem einen (n+1) ein n gemacht und dadurch den ganzen Bruch größer gemacht.

Unsere Reihe ist also konvergent, mit dem Grenzwert g.
Berechnen wir mal 1+g:

$$ 1 + g = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } } = 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } $$

was genau die Folge ist, von der wir gerade wissen wollen, ob sie konvergent ist.
Offenbar ist sie das, mit dem Grenzwert 1+g.

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Ich habe es immer noch nicht verstanden.

 

Warum können wir davon ausgehen dass die Reihe1/n(n+1) eine konvergente Majorante ist?

Natürlich ist sie das, aber dass sie konvergiert ist doch genauso wenig bewiesen wie die Konvergenz der Reihe 1/(n+1)^2.

 

Warum rechnen wir g+1 und warum ist g+1 der Grenzwert, wenn der Grenzwert doch g ist?

 

Bin gerade dabei dass Thema zu lernen und hoffe ich stelle nicht allzu dumme Fragen^^

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Ich glaube ich weiß nicht so ganz, wo du jetzt das Problem siehst.

Glaubst du mir inzwischen, dass die Reihe über 1/n(n+1) eine Majorante für 1/(n+1)² ist?
Also völlig gleichgültig, ob sie nun konvergiert, auf jeden Fall gilt für jedes n

1/n(n+1) > 1/(n+1)²

Das kann man auch schnell noch umstellen, um es direkt zu zeigen, multipliziert man nämlich beide Seiten mit (n+1)², erhält man:

(n+1)/n > 1  |*n

n+1 > n   |-n

1 > 0

also eine wahre Aussage.

Ich hatte angenommen, die Konvergenz der Folge 1/n(n+1) hättet ihr schon gezeigt, weil sie da ja im Beispiel stand.

Nun, das ist aber auch nicht weiter schwer, ich weiß nicht, ob ihr Partialbruchzerlegung schon hattet?
Man fordert dabei, dass sich ein Bruch in eine Summe von Brüchen mit linearem Nenner zerlegen lässt.

Das heißt in diesem Fall, man fordert

1/n(n+1) = A/n + B/(n+1)     (*)

und untersucht, welche Bedingungen für A und B gelten müssen, damit es sich um eine richtige Aussage handelt.

Multipliziert man in (*) beide Seiten der Gleichung mit n(n+1) erhält man:
1 = A*(n+1) + B*n

1 = (A+B)*n + A

Damit diese Gleichung für alle n erfüllt ist, muss offenbar A+B=0 gelten.

Dann bleibt A = 1, also B=-1, damit erhält man die Partialbruchzerlegung:
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
also genau das, was da im Beispiel gegeben ist.

Wenn du nun die Reihe mal ausschreibst und auf jeden einzelnen Bruch die Partialbruchzerlegung anwendest, dann erhältst du:

$$ \begin{array} { l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \ldots + \frac { 1 } { ( n - 1 ) n } + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } } \\ { = \left( \frac { 1 } { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) + \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \right) + \ldots + \left( \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { n } \right) + \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right) } \end{array} $$

Jetzt erkennst du, dass alle Terme mit jeweils einem + und einem - vorkommen, außer 1/1 und 1/n+1.
Alle doppelten Terme heben sich raus, damit bleibt für den Wert der Reihe übrig:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = 1 - \frac { 1 } { n + 1 } $$

Damit ist die Reihe konvergent und geht für n gegen Unendlich gegen 1.

Wir wissen nun also, dass die Reihe über 1/n(n+1) gegen 1 konvergiert und dass die Reihe über 1/(n+1)² gegen irgendeine Zahl konvergiert, die kleiner ist als 1.

Wenn wir jetzt zu der Reihe über 1/(n+1)² noch eine einzige Zahl dazuaddieren, dann konvergiert das immer noch, denn der Rest hat sich ja nicht geändert, jetzt aber gegen irgendetwas, das zwischen 1 und 2 liegt. Und da wir jetzt mit einem Indexshift die bereits als konvergent bekannte Reihe zusammen mit der 1 verheiraten können, sodass die 1 in die Bildungsvorschrift integriert wird, ist das genau die Reihe, von der wir die Konvergenz zeigen wollten.

Answer 2

Wenn ich das richtig verstanden habe dann konvergiert eine Reihe, wenn die Absolutbeträg ihrer Folge stehts kleiner sind als als die Beträge einer Folge, deren Reihe konvergiert. Ist das soweit richtig?

Ja.

Du kannst aber in der Interpretation noch ein Stück weitergehen.

Wenn nämlich Summen von endlich vielen Summanden zu berechnen sind, braucht man Konvergenz nicht zu zeigen, da so was immer wohldefiniert ist und (theoretisch mindestens) genau angegeben werden kann.

Zeigen musst du Konvergenz nur für unendlich viele Summanden. 

Wenn du nun zeigen musst, dass eine Reihe konvergiert, genügt es zu zeigen, dass sie ab einem (von dir anzugebenden) Summanden n_k konvergiert. Am Schluss kann man dann immer noch die Summe bis zu n_k-1 zum Grenzwert ab n_k addieren. Da da dann beide Summanden definiert sind, ist das mathematisch kein Problem.

Julian Mi hat in seiner Antwort bereits festgestellt, ab wann die Summe konvergiert. 

Aufgabe 3. hat in der obigen Abbildung erst einen Lösungshinweis. In die Lücke gehört da 1. die Umformung zur Formel, die n enthält und dann

Bei der Summe links 

= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + …((1/n) - 1/(n+1))

= 1+ ( - 1/2 + 1/2) +( - 1/3 + 1/3) + ( - 1/4 + 1/4) + ( - 1/5 + 1/5) + ( - 1/6… )… +(1/n - 1/n)  - 1/(n+1))

= 1 + 0+… - 1/(n+1)  

= 1 - 1/(n+1)      da n-------> unendlich

= 1