Aloha :)
Wir wollen \(y\) in Abhängigkeit von \(x\) als lineare Funktion darstellen:$$y(x)=a\cdot x+b$$
Zur Bestimmung der Parameter \(a\) und \(b\) setzen wir die 4 bekannten Punkte in diese Funktionsgleichung ein und erhalten Gleichungen für \(a\) und \(b\):
$$(6,8|16,44)\implies 16,44=a\cdot6,8+b$$$$(8,5|16,24)\implies 16,24=a\cdot8,5+b$$$$(10,9|17,55)\implies 17,55=a\cdot10,9+b$$$$(12,9|17,60)\implies 17,60=a\cdot12,9+b$$
Wir haben 4 Gleichungen für 2 Unbekannte. Das dazu gehörende Gleichungssystem:
$$\left(\begin{array}{rr}6,8 & 1\\8,5 & 1\\10,9 & 1\\12,9 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rr}16,44\\16,24\\17,55\\17,60\end{array}\right)$$
ist nicht exakt lösbar. Daher führen wir eine Regression durch. Dazu werden beide Seiten der Gleichung mit der transponierten Koeffizientenmatrix von links multipliziert:
$$\left(\begin{array}{rr}6,8 & 8,5 & 10,9 & 12,9\\1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}6,8 & 1\\8,5 & 1\\ 10,9 & 1\\12,9 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rr}6,8 & 8,5 & 10,9 & 12,9\\1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}16,44\\16,24\\17,55\\17,60\end{array}\right)$$Die entstandene Normalengleichung
$$\left(\begin{array}{rr}403,71 & 39,1\\39,1 & 4\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rr}668,167\\67,83\end{array}\right)$$
lässt sich eindeutig lösen:
$$\binom{a}{b}=\binom{0,238463}{14,62652}$$
was uns auf die gesuchte Regressions-Gerade führt:$$\boxed{y(x)=0,238463\cdot x+14,62652}$$
~plot~ 0,238463*x+14,62652 ; {6,8|16,44} ; {8,5|16,24} ; {10,9|17,55} ; {12,9|17,60} ; [[0|16|12|19]] ~plot~
