Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern? Wo liegt mein Fehler?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die verstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an Eingesetzen Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion:

q = F(x1 ,x2 ) = 2x₁² + 2,5x₁ x₂  + 4x₂².

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q = f(x1,x2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 4 Tonnen des Rohstoffs A und 14 Tonnen des Rohstoffs B zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A um 0,2 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes B in Zukunft um 0,15 Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Problem/Ansatz:

f' (x1, x2) = 4x₁ + 2,5x₂ + 4x₂² + 2x₁² +2,5x₁ + 8x₂

f'x1 (4, 14) = 835

f'x2 (4, 14) = 154

[835, 154] * [0,2, -0,15] = 143,9

Die Marginale Produktion wird um 143,9 ME steigen.

Das Ergebnis ist leider falsch, ich kann aber meinen Fehler nicht finden, wo liegt denn hier der Fehler?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

\( \mathrm{q}=\mathrm{F}(\mathrm{x} 1, \mathrm{x} 2)=2 \mathrm{x}_{1}^{2}+2,5 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+4 \mathrm{x}_{2}^{2} \)

dq/dx1=4x1+ 2,5x2

dq/dx2= 2.5x1+8x2

df=((4 *4 + 2.5 *14) *0.2 )- ((2.5*4 +8 *14) 0.15)

df= -8.1

Answer 2

Aloha :)

Mir fallen zwei Ungereimtheiten auf.

1) Zur Ermittlung des Ergebnisses musst du eigentlich nur einsetzen:$$\Delta q=F(4,2|13,85)-F(4|14)=-8,005$$

2) Du wolltest vermutlich mit dem totalen Differential eine Näherungsformel aufstellen. Du hast gerechnet$$F'(x_1;x_2)=\frac{\partial F}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial x_2}$$

Dabei hast du die Kettenregel falsch angewendet. Das totale Differential lautet hier:$$dF(x_1;x_2)=\frac{\partial F}{\partial x_1}\,dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}\,dx_2$$Erkennst du deinen Bug? Um \(f'(x_1;x_2)\) zu bestimmen, musst du das Differential \(df\) durch irgendein anderes Differential "dividieren" (man möge mir die saloppe Ausdrucksweise hier nachsehen). Dann werden aus \(dx_1\) und \(dx_2\) aber Ableitungen. Diese fehlen bei dir. Wenn z.B. beide Variablen \(x_1\) und \(x_2\) von einem Parameter \(t\) abhängen würden, könnte man schreiben:$$F'(x_1(t);x_2(t))=\frac{dF(x_1;x_2)}{dt}=\frac{\partial F}{\partial x_1}\,\frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\,\frac{dx_2}{dt}$$

In dieser Aufgabe kannst du das totale Differential als Näherung für die Änderung \(\Delta q\) verwenden:$$dq=dF=(4x_1+2,5x_2)\,dx_1+(2,5x_1+8x_2)\,dx_2$$$$\phantom{dq}=(4\cdot4+2,5\cdot14)\cdot0,2+(2,5\cdot4+8\cdot14)\cdot(-0,15)$$$$\phantom{dq}=-8,1$$