Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B

her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
q=f(x1,x2)=e^0.2x1+0.4x2+0.4x1x2.

Dabei bezeichnen x1
und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=f(x1,x2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 1.1 Tonnen des Rohstoffs A und 1.7 Tonnen des Rohstoffs B zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A um 1 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes B in Zukunft um 1.6

Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Problem/Ansatz:

Brauch dringend hilfe

Comments

Stimmt die Funktion so? Die Frage wurde zwar von Tschakabumba beantwortet so wie gefragt, typischerweise steht bei solchen Aufgaben jedoch alles im Exponenten.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...\o/

$$f(x;y)=e^{0,2x}+0,4y+0,4xy\quad;\quad f(x_0;y_0)=(1,1|1,7)\quad;\quad\Delta x=1\;;\;\Delta y=-1,6$$

Hier gibt es zwei Berechnungs-Möglichkeiten.

Möglichkeit 1) Du berechnest die exakten Werte:$$f(1,1|1,7)=2,67408\quad;\quad f(2,1|0,1)=1,64596\quad\implies\quad\underline{\underline{\Delta f=-1,02812}}$$

Möglichkeit 2) Du rechnest mit dem totalen Differential in linearer Näherung:$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(0,2e^{0,2x}+0,4y\right)\,dx+\left(0,4+0,4x\right)\,dy$$und setzt die Werte ein:$$\Delta F\approx0,929215\,dx+0,84\,dy=0,929215\cdot1+0,84\cdot(-1,6)\underline{\underline{=-0,414785}}$$

Du erkennst, dass die lineare Näherung (Möglichkeit 2) bei solch großen Abweichungen für \(\Delta x\) und \(\Delta y\) ganz erheblich vom exakten Wert (Möglichkeit 1) abweicht.

Comments

Hallo Tschakabumba habe eine sehr ähnliche Aufgabe komme allerdings nie auf die richtige Lösung.

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

Text erkannt:

\( q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.4 x_{1}+0.35 x_{2}+0.05 x_{1} x_{2}} \)

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=f(x1,x2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 1 Tonnen des Rohstoffs A und 2.6 Tonnen des Rohstoffs B zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A um 0.9 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes B in Zukunft um 0.3 Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Könntest du mir helfen? Vielen Dank.

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Ich habe deine Frage gefunden und beantwortet. Die muss mir gestern irgendwie durchgegangen sein. Ich hoffe, es hilft dir noch.